《2026年一本密卷高考物理》

15. （16分）某地为发展旅游经济，因地制宜利用山体举办了机器人杂技表演。表演中，需要将质量为$m$的机器人抛至悬崖上的$A$点，图为山体截面与表演装置示意图。$a$、$b$为同一水平面上两条光滑平行轨道，轨道中有质量为$M$的滑杆。滑杆用长度为$L$的轻绳与机器人相连。初始时刻，轻绳绷紧且与轨道平行，机器人从$B$点以初速度$v$竖直向下运动，$B$点位于轨道平面上，且在$A$点正下方，$AB=1.2L$。滑杆始终与轨道垂直，机器人可视为质点且始终做同一竖直平面内运动，不计空气阻力，轻绳不可伸长，$\sin37^{\circ}=0.6$，重力加速度大小为$g$。

(1) 若滑杆固定，$v=\sqrt{gL}$，当机器人运动到滑杆正下方时，求轻绳拉力的大小；
(2) 若滑杆固定，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为$37^{\circ}$时，机器人松开轻绳后被抛至$A$点，求$v$的大小；
(3) 若滑杆能沿轨道自由滑动，$M=km$，且$k\geqslant1$，当机器人运动到滑杆左上方且轻绳与水平方向夹角为$37^{\circ}$时，机器人松开轻绳后被抛至$A$点，求$v$与$k$的关系式及$v$的最小值。

答案： 15.解析：
(1)设机器人运动到滑杆正下方时的速度大小为$v_0$，根据动能定理得：$mgL = \frac{1}{2}mv_0^2 - \frac{1}{2}mv^2$，在最低点，由牛顿第二定律得：$F - mg = \frac{mv_0^2}{L}$，已知：$v = \sqrt{gL}$，联立解得轻绳拉力的大小为：$F = 4mg$;
(2)设机器人松开轻绳时的速度大小为$v_1$。机器人从B点到松开轻绳时的过程，根据机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv^2 = mgL\sin37^{\circ} + \frac{1}{2}mv_1^2$，机器人松开轻绳后被抛至A点的过程做斜抛运动，由运动学公式得：在水平方向上有：$L\cos37^{\circ} + L = v_1\cos37^{\circ}· t$，在竖直方向上有：$1.2L - L\sin37^{\circ} = v_1\sin37^{\circ}· t - \frac{1}{2}gt^2$，联立解得：$v = \sqrt{\frac{370gL}{10}}$;
(3)将松开轻绳时机器人所处的位置设为C点，设机器人在C点时的速度大小为$v_2$，在C点时的水平与竖直的分速度大小分别为$v_x$、$v_y$。则有：$v_2^2 = v_x^2 + v_y^2$。滑杆能沿轨道自由滑动时，机器人由B到C的过程，滑杆与机器人组成的系统在水平方向上满足动量守恒，以向右为正方向，根据动量守恒定律与机械能守恒定律得：$0 = mv_x - Mv_杆$，$\frac{1}{2}mv^2 = mgL\sin37^{\circ} + \frac{1}{2}mv_2^2 + \frac{1}{2}Mv_杆^2$。设此过程机器人与滑杆的水平位移大小分别为$x_1$、$x_杆$，根据人船模型可得：$mx_1 = Mx_杆$，$x_1 = L + L\cos37^{\circ} - x_杆$，已知：$M = km$，且$k \geqslant 1$，可得：$x_1 = \frac{9kL}{5(k + 1)}$。在C点机器人相对滑杆做圆周运动，机器人相对滑杆的速度方向与竖直方向的夹角等于$37^{\circ}$，则有：$\tan37^{\circ} = \frac{v_x + v_杆}{v_y}$。机器人由C点到A点的过程做斜抛运动，由运动学公式得：在水平方向上有：$x_1 = v_xt'$，在竖直方向上有：$1.2L - L\sin37^{\circ} = v_yt' - \frac{1}{2}gt^2$，联立可得：$v^2 = \frac{9kgL}{10(k + 1)} + \frac{14}{5}gL$，解得$v$与$k$的关系式为：$v = \sqrt{\frac{9kgL}{10(k + 1)} + \frac{14}{5}gL}$，$k \geqslant 1$。当$k = 1$时$v$取最小值，可得$v$的最小值为：$v_{min} = \sqrt{\frac{13}{4}gL}$。
答案：
(1)$4mg$　
(2)$\frac{\sqrt{370gL}}{10}$　
(3)$v = \sqrt{\frac{9kgL}{10(k + 1)} + \frac{14}{5}gL}$，$k \geqslant 1$，$v_{min} = \sqrt{\frac{13}{4}gL}$