《2026年一本密卷高考物理》

8. (2025·广西卷)带电粒子绕着带电量为+Q的源电荷做轨迹为椭圆的曲线运动，源电荷固定在椭圆左焦点F上，带电粒子电量为-q；已知椭圆焦距为c，半长轴为a，电势计算公式为$φ=\frac{kQ}{r}，$带电粒子速度的平方与其到电荷的距离的倒数满足如图关系。

(1)求在椭圆轨道半短轴顶点B的电势；
(2)求带电粒子从A到B的运动过程中，电场力对带电粒子做的功；
(3)用推理论证带电粒子动能与电势能之和是否守恒；若守恒，求其动能与电势能之和；若不守恒，说明理由。

答案： 8.解析：
(1)由几何关系可知，椭圆上任何一点到两焦点间距离之和为$2a$，故顶点$B$距源电荷的距离为$r = a$，根据电势计算公式$\varphi=\frac{kQ}{r}$可得在椭圆轨道半短轴顶点$B$的电势为$\varphi_B=\frac{kQ}{a}$；
(2)同理可知，在椭圆轨道半长轴顶点$A$的电势为$\varphi_A=\frac{kQ}{a-\frac{c}{2}}=\frac{2kQ}{2a - c}$，根据电场力做功与电势能的关系可知，带电粒子从$A$到$B$的运动过程中，电场力对带电粒子做的功为$W_{AB}=-q(\varphi_A-\varphi_B)=-kQq(\frac{2}{2a - c}-\frac{1}{a})$；
(3)设带电粒子的质量为$m$，假设带电粒子动能与电势能之和守恒，则满足$\frac{1}{2}mv^2+(-q)\frac{kQ}{r}=C(定值)$，则$v^2=\frac{2kQq}{m}·\frac{1}{r}+\frac{2C}{m}$，根据图像可知$v^2-\frac{1}{r}$关系为一条倾斜直线，故假设成立，将图像中$(\frac{1}{2a},0)$代入关系式可得其动能与电势能之和为$C=-\frac{kQq}{2a}$。
答案：
(1)$\frac{kQ}{a}$
(2)$-kQq(\frac{2}{2a - c}-\frac{1}{a})$
(3)守恒，$-\frac{kQq}{2a}$