《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. 已知直线 $ y = kx + 2 $ 与椭圆 $ \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{m} = 1 $ 总有公共点，则 $ m $ 的取值范围是(D)

A.$[4, +\infty)$
B.$(0, 9)$
C.$[4, 9)$
D.$[4, 9) \cup (9, +\infty)$

答案： 1.D　[解析]因为直线$y=kx + 2$恒过点$(0,2)$，为使直线$y=kx + 2$与椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{m}=1$恒有公共点，只需点$(0,2)$在椭圆$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{m}=1$上或椭圆内，所以$\frac{0^{2}}{9}+\frac{2^{2}}{m}\leq1$，即$m\geq4$.又$m\neq9$，所以$m\geq4$且$m\neq9$.

2. 过双曲线 $ x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1 $ 的左焦点 $ F_{1} $ 作一条直线 $ l $ 交双曲线的左支于 $ P $，$ Q $ 两点，若 $ |PQ| = 10 $，$ F_{2} $ 是双曲线的右焦点，则 $ \triangle PF_{2}Q $ 的周长是(A)

A.24
B.14
C.12
D.20

答案： 2.A　[解析]由题得$\vert PF_{2}\vert - \vert PF_{1}\vert = 2$，$\vert QF_{2}\vert - \vert QF_{1}\vert = 2$.因为$\vert PF_{1}\vert + \vert QF_{1}\vert = \vert PQ\vert = 10$，所以$\vert PF_{2}\vert + \vert QF_{2}\vert - 10 = 4$，即$\vert PF_{2}\vert + \vert QF_{2}\vert = 14$.所以$\triangle PF_{2}Q$的周长是$\vert PF_{2}\vert + \vert QF_{2}\vert + \vert PQ\vert = 14 + 10 = 24$.

3. 已知抛物线 $ C: x^{2} = 2y $，过点 $ M(0, 2) $ 的直线交抛物线 $ C $ 于 $ A $，$ B $ 两点，若 $ O $ 为坐标原点，则直线 $ OA $，$ OB $ 的斜率之积为(A)

A.$-1$
B.0
C.1
D.$-2$

答案： 3.A[解析]显然直线AB的斜率存在，设其方程为$y = kx + 2$，由$\begin{cases}y = kx + 2\\x^{2}=2y\end{cases}$消去$y$得$x^{2}-2kx - 4 = 0$，所以$x_{1}x_{2} = -4$.从而$k_{OA}· k_{OB}=\frac{y_{1}y_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{\frac{x_{1}^{2}}{2}·\frac{x_{2}^{2}}{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{x_{1}x_{2}}{4}=-1$.

4. 已知离心率为 $ \frac{1}{2} $ 的椭圆 $ \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0) $ 内有个内接三角形 $ ABC $，$ O $ 为坐标原点，边 $ AB $，$ BC $，$ AC $ 的中点分别为 $ D $，$ E $，$ F $，直线 $ AB $，$ BC $，$ AC $ 的斜率分别为 $ k_{1} $，$ k_{2} $，$ k_{3} $，且均不为 0，若直线 $ OD $，$ OE $，$ OF $ 的斜率之和为 1，则 $ \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} + \frac{1}{k_{3}} = $(C)

A.$ -\frac{4}{3} $
B.$ \frac{4}{3} $
C.$ -\frac{3}{4} $
D.$ \frac{3}{4} $

答案： 4.C[解析]由题意可得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，所以$4b^{2}=3a^{2}$，不妨设椭圆方程为$\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2}}{3}=1$，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，$C(x_{3},y_{3})$，则$\frac{y_{1}^{2}}{4}+\frac{x_{1}^{2}}{3}=1$，$\frac{y_{2}^{2}}{4}+\frac{x_{2}^{2}}{3}=1$，两式作差得$\frac{(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}{3}+\frac{(y_{2}-y_{1})(y_{2}+y_{1})}{4}=0$，则$\frac{x_{2}+x_{1}}{y_{2}+y_{1}}=-\frac{3}{4}·\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$，即$-\frac{3}{4}k_{AB}=\frac{1}{k_{OD}}$，同理可得$\frac{1}{k_{AC}}=-\frac{3}{4}k_{OF}$，$\frac{1}{k_{BC}}=-\frac{3}{4}k_{OE}$，所以$\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}+\frac{1}{k_{3}}=-\frac{3}{4}(k_{OD}+k_{OE}+k_{OF})=-\frac{3}{4}$.

例1 （2025·九江三模）已知双曲线 $ E: \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0, b ＞ 0) $ 的左、右顶点分别为 $ A $，$ B $，点 $ M(5, 4) $ 在 $ E $ 上，$ \overrightarrow{MA} · \overrightarrow{MB} = 32 $。
（1）求双曲线 $ E $ 的方程；$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=1$
（2）过点 $ M $ 的直线 $ l $ 交 $ E $ 于另一点 $ N $（异于 $ A $，$ B $ 两点），与 $ x $ 轴交于点 $ G $，直线 $ NA $ 与 $ MB $ 交于点 $ H $，证明：直线 $ GH $ 过定点。$(-3,-6)$
总结提炼
求解直线过定点问题的常用方法：
1. 参数法：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量；②利用条件找到 $ k $ 与过定点的曲线 $ F(x, y) = 0 $ 之间的关系，得到关于 $ k $ 与 $ x $，$ y $ 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标。
2. 由特殊到一般：根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。

答案： （1）因为$M(5,4)$在$E$上，所以$\frac{25}{a^{2}}-\frac{16}{b^{2}}=1$①.因为$A(-a,0)$，$B(a,0)$，所以$\overrightarrow{MA}=(-a - 5,-4)$，$\overrightarrow{MB}=(a - 5,-4)$，所以$\overrightarrow{MA}·\overrightarrow{MB}=41 - a^{2}=32$②.由①②解得$a = 3$，$b = 3$，故双曲线$E$的方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{9}=1$.
（2）设直线$NA$的方程为$x = my - 3$，直线$MB$的方程为$y = 2x - 6$.联立$\begin{cases}x = my - 3\\y = 2x - 6\end{cases}$得$H(\frac{6m + 3}{2m - 1},\frac{12}{2m - 1})$.联立$\begin{cases}x = my - 3\\x^{2}-y^{2}=9\end{cases}$消去$x$，整理得$(m^{2}-1)y^{2}-6my = 0$，所以$y_{N}=\frac{6m}{m^{2}-1}$，$x_{N}=\frac{3m^{2}+3}{m^{2}-1}$，即$N(\frac{3m^{2}+3}{m^{2}-1},\frac{6m}{m^{2}-1})$.所以直线$MN$的斜率为$\frac{\frac{6m}{m^{2}-1}-4}{\frac{3m^{2}+3}{m^{2}-1}-5}=\frac{2m + 1}{m + 2}$，所以直线$MN$的方程为$y=\frac{2m + 1}{m + 2}(x - \frac{3m^{2}+3}{m^{2}-1})+4$.令$y = 0$，得$x=\frac{6m - 3}{2m + 1}$，即$G(\frac{6m - 3}{2m + 1},0)$.所以直线$GH$的斜率为$\frac{\frac{12}{2m - 1}}{\frac{6m + 3}{2m - 1}-\frac{6m - 3}{2m + 1}}=\frac{2m + 1}{2m}$，所以直线$GH$的方程为$y=\frac{2m + 1}{2m}(x - \frac{6m - 3}{2m + 1})$，即$2m(x - y - 3)+x + 3 = 0$.由$\begin{cases}x - y - 3 = 0\\x + 3 = 0\end{cases}$解得$x = -3$，$y = -6$，故直线$GH$过定点$(-3,-6)$.