《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例2 （2025·湛江一模）甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的A类问题以及难度系数较高的B类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的一个问题. 甲遇到每类问题的概率均为$\frac{1}{2}$，甲遇到A类问题时回答正确的概率为$\frac{1}{2}$，回答正确记1分，否则记0分；甲遇到B类问题时回答正确的概率为$\frac{1}{4}$，回答正确记2分，否则记0分，总得分记为$X$分，甲回答每个问题相互独立.
（1）当进行完2轮游戏时，求甲的总分$X$的分布列与数学期望.分布列见解析数学期望为1
（2）设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为$n$分的概率为$G(n)$.
①证明：$\{G(n + 1)-\frac{1}{2}G(n)\}$为等比数列.
②求$G(n)$的最大值以及对应$n$的值.证明见解析最大值为$\frac{1}{4}$，对应$n=1$

答案： 例2【解答】
(1)$X$的可能取值为0,1,2,3,4,每次回答A类问题且回答正确的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$,回答A类问题且回答不正确的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$,每次回答B类问题且回答正确的概率为$\frac{1}{2}×\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$,回答B类问题且回答不正确的概率为$\frac{1}{2}×\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$,$P(X=0)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{4}×\frac{3}{8}×2=\frac{25}{64}$,$P(X=1)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}×2+\frac{1}{4}×\frac{3}{8}×2=\frac{5}{16}$,$P(X=2)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}+\frac{1}{8}×\frac{1}{8}×2=\frac{7}{32}$,$P(X=3)=\frac{1}{4}×\frac{1}{8}×2=\frac{1}{16}$,$P(X=4)=\frac{1}{8}×\frac{1}{8}=\frac{1}{64}$,故$X$的分布列为
$X$01234
$P$$\frac{25}{64}$$\frac{5}{16}$$\frac{7}{32}$$\frac{1}{16}$$\frac{1}{64}$
则$E(X)=0×\frac{25}{64}+1×\frac{5}{16}+2×\frac{7}{32}+3×\frac{1}{16}+4×\frac{1}{64}=1$.
(2)①$G(1)=\frac{1}{4}$,$G(2)=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{3}{16}$,由题意得甲累计得分为$n$分的前一轮得分只能为$(n-1)$分或$(n-2)$分,故当$n\geq3$时,$G(n)=\frac{1}{4}G(n-1)+\frac{1}{8}G(n-2)$,所以$G(n)-\frac{1}{2}G(n-1)=-\frac{1}{4}[G(n-1)-\frac{1}{2}G(n-2)]$,所以$\{G(n+1)-\frac{1}{2}G(n)\}$是以$G(2)-\frac{1}{2}G(1)=\frac{1}{16}$为首项,$-\frac{1}{4}$为公比的等比数列.
②根据①可知,$G(n+1)-\frac{1}{2}G(n)=\frac{1}{16}×(-\frac{1}{4})^{n-1}$①,易得$G(n)+\frac{1}{4}G(n-1)=\frac{1}{2}[G(n-1)+\frac{1}{4}G(n-2)]=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}[G(n-1)+\frac{1}{4}G(n-2)]$,所以$\{G(n+1)+\frac{1}{4}G(n)\}$是以$\frac{1}{2}$为首项,$\frac{1}{2}$为公比的等比数列,所以$G(n+1)+\frac{1}{4}G(n)=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2})^{n-1}$②,
②-①得$\frac{3}{4}G(n)=\frac{1}{4}×(\frac{1}{2})^{n-1}-\frac{1}{16}×(-\frac{1}{4})^{n-1}$,所以$G(n)=\frac{1}{3}×(\frac{1}{2})^{n-1}+\frac{1}{3}×(-\frac{1}{4})^{n-}$,经检验$n=1$,$n=2$时均满足上式,故$G(n)=\frac{1}{3}×[(-\frac{1}{4})^{n}+(\frac{1}{2})^{n-1}]\leq\frac{1}{3}×[(\frac{1}{4})^{n}+(\frac{1}{2})^{n-1}]$而$\frac{1}{3}×[(\frac{1}{4})^{n}+(\frac{1}{2})^{n-1}]$显然随着$n$的增大而减小,故$G(n)\leq\frac{1}{3}×[(\frac{1}{4})^{2}+\frac{1}{2}]=\frac{3}{16}=G(2)(n\geq2)$.又因为$G(1)＞G(2)$,所以当$n=1$时,$G(n)$取到最大值为$\frac{1}{4}$.