《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

变式2 (2025·安庆期末)某次比赛中，甲、乙两人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立.
(1) 若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，甲、乙获胜的概率均为$\frac{1}{2}$.求甲、乙决出冠军时比赛局数$X$的分布列与数学期望$E(X)$.X的分布列为：X2345P$\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$$\frac{1}{8}$$\frac{1}{8}$，数学期望为$\frac{23}{8}$n的估计值为21
(2) 若每局比赛甲获胜的概率为$p = 0.6$，乙获胜的概率为$1 - p$.已知甲、乙进行了$n$局比赛且甲胜了13局，试给出$n$的估计值($X$表示$n$局比赛中甲胜的局数，以使得$P(X = 13)$最大的$n$的值作为$n$的估计值).
(3) 若每局比赛甲获胜的概率为$p = 0.6$，规定在$2n - 1$场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为$p_{n}$，试说明$p_{n}$的单调性并给出证明.单调递增

答案： 变式2【解答】
(1)由比赛规则可知，1局比赛后，甲、乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束，则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分，故比赛局数不会超过5.由比赛规则可知，若比赛共进行了$n(2\leq n\leq5)$局，记随机事件$A_i$=“第$i$局比赛中甲获胜，$i\in\{1,2,3,4,5$”，$P(X=2)$=$P(A_1A_2)$+$P(\overline{A_1}\overline{A_2})$=($\frac{1}{2}$)$^2$+($\frac{1}{2}$)$^2$=$\frac{1}{2}$，$P(X=3)$=$P(\overline{A_1}A_2A_3)$+$P(A_1\overline{A_2}\overline{A_3})$=($\frac{1}{2}$)$^3$+($\frac{1}{2}$)$^3$=$\frac{1}{4}$，$P(X=4)$=$P(A_1\overline{A_2}A_3A_4)$+$P(\overline{A_1}A_2\overline{A_3}\overline{A_4})$=($\frac{1}{2}$)$^4$+($\frac{1}{2}$)$^4$=$\frac{1}{8}$，$P(X=5)$=1-$P(X=2)$-$P(X=3)$-$P(X=4)$=1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{8}$.于是X的分布列为
X2345
P$\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$$\frac{1}{8}$$\frac{1}{8}$
故$E(X)$=2×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{4}$+4×$\frac{1}{8}$+5×$\frac{1}{8}$=$\frac{23}{8}$.
(2)易得$n\geq13$，$X\sim B(n,p)$，$P(X=13)$=$C_n^{13}p^{13}(1-p)^{n-13}$，记$f(n)$=$C_n^{13}p^{13}(1-p)^{n-13}$，则$\frac{f(n+1)}{f(n)}$=$\frac{C_{n+1}^{13}×0.6^{13}×0.4^{n+1-13}}{C_n^{13}×0.6^{13}×0.4^{n-13}}$=$\frac{(n+1)!}{(n-12)!5!}$×$\frac{2}{n!}$=$\frac{n+1}{n-12}$×$\frac{2}{5}$，由$\frac{f(n+1)}{f(n)}$＞1，得$n$＜$\frac{62}{3}$，即13≤$n$≤20，$f(n)$＜$f(n+1)$；当$n$≥21时，$f(n)$＞$f(n+1)$，故$n$=21时，$P(X=13)$最大，所以$n$的估计值为21.
(3)在$2n-1$场比赛中甲获胜的概率为$p_n$，则在$2n+1$场比赛中甲获胜的概率为$p_{n+1}$，记乙在每场比赛中获胜的概率为$q$=1-$p$，则$p_{n+1}$=$2pqp_n$+$p^2$($p_n$+$C_{2n-1}^1p^{n-1}q^n$)+$q^2$($p_n$-$C_{2n-1}^1p^nq^{n-1}$)=$p_n$+$C_{2n-1}^1p^nq^{n-1}$($p-q$)，由已知$p$＞$q$，所以$p_n$单调递增.