《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例1 （2025·镇江期初）口袋中有大小相同、质地均匀的3个白球和3个黄球. 甲、乙两人进行摸球游戏，规则如下：每次摸2个球，观察颜色后放回，若颜色相同，则摸球人继续摸球，否则由对方摸球. 第一次由甲开始摸球，记第$n$次由甲摸球的概率是$P_{n}$.
（1）求$P_{2}$，$P_{3}$；
（2）证明：数列$\{P_{n}-\frac{1}{2}\}$是等比数列，并求$P_{n}$.（1）$P_2=\frac{2}{5}$，$P_3=\frac{13}{25}$（2）证明见解析，$P_n=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{5})^{n-1}+\frac{1}{2}$

答案： 例1【解答】
(1)第一次由甲开始摸球,$P_1=1$,$P_2$表示第二次由甲摸球的概率,$P_2=\frac{C_3^2+C_3^2}{C_6^2}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$,$P_3$表示第二次由甲摸球后或第二次由乙摸球后,第三次由甲摸球的概率,$P_3=\frac{2}{5}P_2+\frac{3}{5}(1-P_2)=\frac{2}{5}×\frac{2}{5}+\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{13}{25}$,所以$P_2=\frac{2}{5}$,$P_3=\frac{13}{25}$.
(2)当$n\geq2$时,$P_n$表示第$n-1$次由甲摸球后或由乙摸球后,第$n$次由甲摸球的概率,所以$P_n=\frac{C_3^2+C_3^2}{C_6^2}P_{n-1}+\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}(1-P_{n-1})$,
即$P_n=-\frac{1}{5}P_{n-1}+\frac{3}{5}$,所以$P_n-\frac{1}{2}=-\frac{1}{5}(P_{n-1}-\frac{1}{2})$,因为$P_1=1$,即$P_1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$,所以数列$\{P_n-\frac{1}{2}\}$是以$\frac{1}{2}$为首项,$-\frac{1}{5}$为公比的等比数列,即$P_n-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{5})^{n-1}$,则$P_n=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{5})^{n-1}+\frac{1}{2}$,当$n=1$时,$P_1=1$满足上式,所以$P_n=\frac{1}{2}×(-\frac{1}{5})^{n-1}+\frac{1}{2}$.

变式1 (2025·江门模拟)在某平台的闯关赢奖品活动中，用户每次进入新的一关都有一次抽奖机会. 已知用户在第一关抽到奖品的概率为$\frac{2}{5}$，从第二关开始，若前一关没抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为$\frac{2}{3}$；若前一关抽到奖品，则这一关抽到奖品的概率为$\frac{1}{3}$. 记用户第$n$关抽到奖品的概率为$p_{n}$，则$p_{n}$的最大值为$\frac{8}{15}$.

答案： 变式1$\frac{8}{15}$【解析】依题意,$p_1=\frac{2}{5}$,记用户第$i(i\in N^*)$关抽到奖品为事件$A_i$,当$n\geq2$时,$P(A_n|A_{n-1})=\frac{1}{3}$,$P(A_n|A_{n-1})=\frac{2}{3}$,$P(A_n)=P(A_{n-1})P(A_n|A_{n-1})+P(A_{n-1})P(A_n|A_{n-1})$,$p_n=P(A_n)$,于是$p_n=\frac{1}{3}p_{n-1}+\frac{2}{3}(1-p_{n-1})=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}p_{n-1}$,则$p_n-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}(p_{n-1}-\frac{1}{2})$,而$p_1-\frac{1}{2}=\frac{2}{5}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{10}$,因此数列$\{p_n-\frac{1}{2}\}$是以$-\frac{1}{10}$为首项,$-\frac{1}{3}$为公比的等比数列,则$p_n-\frac{1}{2}=-\frac{1}{10}×(-\frac{1}{3})^{n-1}$,即$p_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}×(-\frac{1}{3})^{n-1}$.当$n$为奇数时,$(-\frac{1}{3})^{n-1}＞0$,则$p_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{10}×(-\frac{1}{3})^{n-1}＜\frac{1}{2}$;当$n$为偶数时,$p_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}×(\frac{1}{3})^{n-1}＞\frac{1}{2}$,数列$\{p_{2k}\}$是递减数列,$p_n\leq p_2=\frac{8}{15}$,所以$p_n$的最大值为$\frac{8}{15}$.