《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例5 (2025·郴州期中)甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为$\frac{1}{2}$.
(1) 求甲连续打四局比赛的概率；
(2) 求在前四局中甲轮空两局的概率；
(3) 求第四局甲轮空的概率.$\frac{1}{8}$$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$

答案： 例5【解答】
(1)若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率为($\frac{1}{2}$)$^3$=$\frac{1}{8}$.
(2)在前四局中甲轮空两局的情况为：第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率为(1-$\frac{1}{2}$)×(1-$\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{4}$.
(3)甲第四局轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空；第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空.第1种情况的概率为(1-$\frac{1}{2}$)×(1-$\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{4}$；第2种情况的概率为$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×(1-$\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{8}$，由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{8}$.

例6 甲、乙两支足球队进入某杯赛决赛，比赛采用“主客场比赛制”，具体赛制如下：若某队两场比赛均获胜或一胜一平，则获得冠军；若某队两场比赛均平局或一胜一负，则通过点球大战决出冠军.现假定甲队在主场获胜的概率为$p$，平局的概率为$\frac{p}{2}$，其中$0 ＜ p ＜ 1$；甲队在客场获胜和平局的概率均为$\frac{p}{2}$；点球大战甲队获胜的概率为$p$，且不同对阵的结果互不影响.
(1) 若甲队先主场后客场，且$p = \frac{1}{2}$.
①求甲队通过点球大战获得冠军的概率；
②求甲队获得冠军的概率.
(2) 除“主客场比赛制”外，也经常采用在第三方场地的“单场比赛制”：若某队比赛获胜则获得冠军；若为平局，则通过点球大战决出冠军.假定甲队在第三方场地获胜的概率为$p^{2}$，平局的概率为$\frac{p}{2}$，点球大战甲队获胜的概率为$p$.问哪种赛制更有利于甲队夺冠？$\frac{3}{16}$$\frac{1}{2}$，主客场比赛制更有利

答案： 例6【解答】
(1)①记甲队通过点球大战获得冠军为事件A，此事件包含甲队主胜客负、主负客胜、主平客平，然后点球获胜，故$P(A)$=[$p$(1-$p$)+(1-$\frac{3}{2}p$)·$\frac{1}{2}p$+$\frac{1}{2}p$·$\frac{1}{2}p$]·$p$=$\frac{3}{2}p^2$(1-$p$)，因为$p$=$\frac{1}{2}$，所以$P(A)$=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{16}$，所以甲队通过点球大战获得冠军的概率为$\frac{3}{16}$.
②记甲队获得冠军为事件B，事件B包含甲队点球获胜、主胜客胜、主胜客平、主平客胜，所以$P(B)$=$\frac{3}{2}p^2$(1-$p$)+$p$·$\frac{1}{2}p$+$p$·$\frac{1}{2}p$+$\frac{1}{2}p$·$\frac{1}{2}p$=$\frac{11}{4}p^2$-$\frac{3}{2}p^3$，将$p$=$\frac{1}{2}$代入得，$P(B)$=$\frac{11}{4}p^2$-$\frac{3}{2}p^3$=$\frac{11}{4}$×$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{2}$，所以甲队获得冠军的概率为$\frac{1}{2}$.
(2)由题意，记在“单场比赛制”下，甲队获得冠军为事件C，事件C包含甲队胜、甲队平同时点球胜，所以$P(C)$=$p^2$+$\frac{1}{2}p$·$p$=$\frac{3}{2}p^2$，因为0＜$p$＜$\frac{1}{2}$，$p$＜1，所以0＜$p$＜$\frac{2}{3}$，此时0＜$p^2$+$\frac{1}{2}p$＜$\frac{7}{9}$，满足题意.$P(B)$-$P(C)$=$\frac{11}{4}p^2$-$\frac{3}{2}p^3$-$\frac{3}{2}p^2$=$\frac{5}{4}p^2$-$\frac{3}{2}p^3$=$\frac{1}{4}p^2$(5-6$p$)，因为0＜$p$＜$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{2}p^2$＞0,5-6$p$＞0，所以$P(B)$-$P(C)$=$\frac{1}{4}p^2$(5-6$p$)＞0，故“主客场比赛制”比“单场比赛制”更利于甲夺冠.