《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例2 (2025·聊城期末)已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，$a_{n+1}=2S_{n}+3$.
(1) 求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2) 在数列$\{ a_{n}\}$的相邻项$a_{k}$与$a_{k+1}(k\in \mathbf{N}^{*})$之间插入$k$个相同的数$(-1)^{k}$，使其与原数列构成新数列$\{ b_{n}\}$，设$T_{n}$为数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和，求$T_{40}$.$a_n = 3^n$9840

答案： 例2 【解答】
(1)由$a_{n + 1} = 2S_n + 3$，得$a_n = 2S_{n - 1} + 3(n \geq 2)$，两式相减得$a_{n + 1} - a_n = 2a_n(n \geq 2)$，即$a_{n + 1} = 3a_n(n \geq 2)$，所以等比数列$\{ a_n \}$的公比$q = 3$.又当$n = 1$时，$a_2 = 2S_1 + 3 = 2a_1 + 3 = 3a_1$，所以$a_1 = 3$，所以$a_n = 3^n$.
(2)数列$\{ b_n \}$为3，−1，$3^2$，1，$3^3$，−1，−1，−1，$3^4$，⋯，以如下划分3，$\vert -1,3^2 \vert$，$\vert 1,3^3 \vert$，$\vert -1,-1,-1,3^4 \vert$，⋯，得项数$X_n = 1 + 2 + 3 + 4 + ·s + n = \frac{n(n + 1)}{2}$，当$n = 8$时，$X_8 = 36$，当$n = 9$时，$X_9 = 45$，所以$T_{40} = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + ·s + 3^8 + (-1) × 1 + 1 × 2 + (-1) × 3 + ·s + 1 × 6 + (-1) × 7 + 1 × 4 = \frac{3(1 - 3^8)}{1 - 3} + 3 - 7 + 4 = \frac{3}{2}(3^8 - 1) = 9840$.

变式2 已知数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$满足$2S_{n}=3a_{n}-3$.
(1) 求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
(2) 已知数列$\{ b_{n}\}$满足$b_{n}=3n$，在数列$\{ b_{n}\}$中剔除掉属于数列$\{ a_{n}\}$的项，并且把剩余的项从小到大排列构成新数列$\{ c_{n}\}$，求数列$\{ c_{n}\}$的前100项和$T_{100}$.$a_n = 3^n$336316332

答案： 变式2 【解答】
(1)在$2S_n = 3a_n - 3$中，令$n = 1$，得$a_1 = 3$.因为$2S_n = 3a_n - 3$，所以当$n \geq 2$时，$2S_{n - 1} = 3a_{n - 1} - 3$，两式相减得$2a_n = 3a_n - 3a_{n - 1}$，所以$a_n = 3a_{n - 1}$，所以数列$\{ a_n \}$是以3为首项，3为公比的等比数列，所以$a_n = 3^n$.
(2)因为$b_n = 3n$，所以数列$\{ a_n \}$中的项都在数列$\{ b_n \}$中.数列$\{ a_n \}$的前5项为3,9,27,81,243，在数列$\{ b_n \}$的前105项中，这五项的和为363.数列$\{ b_n \}$的前105项为3,6,9，⋯，27，⋯，81，⋯，243，⋯，315，它们的和为$105 × 3 + 105 × 52 × 3 = 16695$，所以数列$\{ c_n \}$的前100项和为数列$\{ b_n \}$的前105项和减去3,9,27,81,243的和，即$T_{100} = 16695 - 363 = 16332$.