《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

(2)(2025·张家界调研)如图，在三棱锥$V - ABC$中，$\angle AVB = \angle BVC = \angle CVA = 60^{\circ}$，$VA = VB = VC$，若三棱锥$V - ABC$的内切球$O$的表面积为$6\pi$，则此三棱锥的体积为(D)


A.$6\sqrt{3}$
B.$18\sqrt{3}$
C.$6\sqrt{2}$
D.$18\sqrt{2}$

答案：

(2)D　[解析]如图，连接$VO$并延长，交底面$ABC$于点$E$，连接$AE$并延长，交$BC$于点$D$。因为在三棱锥$V - ABC$中，$\angle AVB=\angle BVC=\angle CVA = 60^{\circ}$，$VA = VB = VC$，所以三棱锥$V - ABC$是正四面体，于是$E$是$\triangle ABC$的中心，则$VE\perp$平面$ABC$。因为三棱锥$V - ABC$的内切球$O$的表面积为$6\pi$，所以$4\pi r^{2}=6\pi$，解得球$O$的半径$r = OE=\frac{\sqrt{6}}{2}$。设$AB = a$，则$AE=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\sqrt{a^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，$VE=\sqrt{a^{2}-(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a$，所以$AO = VO=\frac{\sqrt{6}}{3}a-\frac{\sqrt{6}}{2}$。因为$OE\perp AE$，所以$AE^{2}+OE^{2}=AO^{2}$，即$(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^{2}+(\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}=(\frac{\sqrt{6}}{3}a-\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}$，解得$a = 6$，于是$VE=\frac{\sqrt{6}}{3}×6 = 2\sqrt{6}$，则此三棱锥的体积$V=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}· VE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×6×\sin60^{\circ}×2\sqrt{6}=18\sqrt{2}$。
　　　

例4 (1)(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm，高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为$\frac{5}{2}$ cm.

答案：

(1)$\frac{5}{2}$　[解析]如图，设铁球的半径为$r$，则$r ＜ 4$。由圆柱与球的性质知$AB = 2r$，$BC = 9 - 2r$，$AC = 8 - 2r$，则$(2r)^{2}=(8 - 2r)^{2}+(9 - 2r)^{2}$，即$4r^{2}-68r + 145=(2r - 5)(2r - 29)=0$，因为$r ＜ 4$，所以$r=\frac{5}{2}cm$。
　　　　　　　　

(2)(2025·广东一模)(多选)已知正四面体$ABCD$的棱长为6，$M$，$N$分别是$BC$，$AD$的中点，则下列几何体能够整体放入正四面体$ABCD$的有(ACD)

A.底面在平面$BCD$上，且底面半径为$\sqrt{2}$，高为$2\sqrt{6}$的圆锥
B.底面在平面$BCD$上，且底面半径为$\sqrt{2}$，高为1的圆柱
C.轴为直线$MN$，且底面半径为$\sqrt{2}$，高为2的圆锥
D.轴为直线$MN$，且底面半径为$\sqrt{2}$，高为0.2的圆柱

答案：

(2)ACD　[解析]对于A，如图
(1)，在正四面体$ABCD$中，作$AO\perp$平面$BCD$，交平面$BCD$于点$O$，连接$OD$，则$O$为正三角形$BCD$的中心。又正四面体的棱长为$6$，则$\triangle BCD$的内切圆半径为$\sqrt{3}$，$OD = 2\sqrt{3}$，正四面体的高$AO=\sqrt{AD^{2}-OD^{2}}=\sqrt{6^{2}-(2\sqrt{3})^{2}}=2\sqrt{6}$。因为圆锥的底面半径为$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}＜\sqrt{3}$，且高为$2\sqrt{6}$，则可以放到正四面体内，故A正确。对于B，如图
(2)，平面$EFG//$平面$BCD$，当$HO = 1$时，设$\triangle EFG$内切圆的半径为$r'$，则$\frac{r'}{\sqrt{3}}=\frac{AH}{AO}=\frac{2\sqrt{6}-1}{2\sqrt{6}}$，解得$r'=\frac{2\sqrt{6}-1}{2\sqrt{2}}＞\sqrt{2}$，则底面半径为$\sqrt{2}$，高为$1$的圆柱无法放到正四面体内，故B错误。对于C，如图
(3)，$MN=\sqrt{NC^{2}-MC^{2}}=\sqrt{(3\sqrt{3})^{2}-3^{2}}=3\sqrt{2}$，在线段$MN$上取点$K$使得$NK = 2$，$KL\perp MN$，$L$在$MD$上，则$\frac{KL}{ND}=\frac{MK}{MN}$，即$\frac{KL}{3}=\frac{3\sqrt{2}-2}{3\sqrt{2}}$，则$KL=\frac{3\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}＞\sqrt{2}$，则轴为直线$MN$，且底面半径为$\sqrt{2}$，高为$2$的圆锥可以放到正四面体内，故C正确。对于D，采用选项C中的图，此时条件变为，在线段$MN$上取点$K$使得$KL=\sqrt{2}$，则$\frac{KL}{ND}=\frac{MK}{MN}$，即$\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{MK}{3\sqrt{2}}$，解得$MK = 2$，若圆柱可以放入，则其轴中点必然为线段$MN$的中点，而$2MK = 4＜3\sqrt{2}-0.2$，则轴为直线$MN$，且底面半径为$\sqrt{2}$，高为$0.2$的圆柱可以放到正四面体内，故D正确。