《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. (人A必二P139练习3改编)下列说法正确的是(D)

A.如果直线$a // b$，那么$a$平行于经过$b$的任何平面
B.如果直线$a$与平面$\alpha$满足$a // \alpha$，那么$a$与$\alpha$内的任何直线平行
C.如果直线$a$，$b$和平面$\alpha$满足$a // \alpha$，$b // \alpha$，那么$a // b$
D.如果直线$a$，$b$和平面$\alpha$满足$a // b$，$a // \alpha$，$b \not\subset \alpha$，那么$b // \alpha$

答案： 1.D

2. 设$\alpha$，$\beta$是两个不重合的平面，$l$是一条直线，则下列说法正确的是(C)

A.若$l \perp \alpha$，$\alpha \perp \beta$，则$l \subset \beta$
B.若$l // \alpha$，$\alpha // \beta$，则$l \subset \beta$
C.若$l \perp \alpha$，$\alpha // \beta$，则$l \perp \beta$
D.若$l // \alpha$，$\alpha \perp \beta$，则$l \perp \beta$

答案： 2.C

3. 已知空间$A$，$B$，$C$，$D$四点共面，但任意三点不共线，若$P$为该平面外一点且$\overrightarrow{PA} = \frac{5}{3}\overrightarrow{PB} - x\overrightarrow{PC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{PD}$，则实数$x$的值为(C)

A.$-\frac{4}{3}$
B.$-\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{4}{3}$

答案： 3.C [解析]因为空间$A,B,C,D$四点共面，但任意三点不共线，则可设$\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{AC}+n\overrightarrow{AD}$.因为点$P$在该平面外，所以$\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PA}=m(\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PA})+n(\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PA})$，即$(m + n - 1)\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{PB}+m\overrightarrow{PC}+n\overrightarrow{PD}$，则$\overrightarrow{PA}=\frac{-1}{m + n - 1}\overrightarrow{PB}+\frac{m}{m + n - 1}\overrightarrow{PC}+\frac{n}{m + n - 1}\overrightarrow{PD}$.又$\overrightarrow{PA}=\frac{5}{3}\overrightarrow{PB}-x\overrightarrow{PC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{PD}$，所以$\begin{cases} \frac{-1}{m + n - 1}=\frac{5}{3} \\ \frac{m}{m + n - 1}=-x \\ \frac{n}{m + n - 1}=-\frac{1}{3} \end{cases}$，解得$m = n=\frac{1}{5},x=\frac{1}{3}$.

4. (多选)如图，在正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$E$是棱$CC_1$的中点，若$F$是侧面$B_1BCC_1$内的动点，且$A_1F //$平面$AD_1E$，则下列说法正确的是(ACD)

A.$A_1F$可能与$B_1E$相交
B.$A_1F$与$D_1E$不可能平行
C.$A_1F$与$BE$是异面直线
D.三棱锥$F - AC_1D_1$的体积为定值

答案：
4.ACD [解析]如图，分别取$BB_1,B_1C_1$的中点$M,N$，连接$MN,A_1M,A_1N,BC_1$.由三角形中位线及正方体的性质可得$MN// BC_1// AD_1,A_1M// D_1E$.又$AD_1\subset$平面$AD_1E,MN\not\subset$平面$AD_1E$，所以$MN//$平面$AD_1E$.同理可得$A_1M//$平面$AD_1E$.因为$A_1M\cap MN = M,A_1M,MN\subset$平面$A_1MN$，所以平面$A_1MN//$平面$AD_1E$.又因为$A_1F//$平面$AD_1E$，所以点$F$的轨迹是线段$MN$.对于A，连接$B_1E$交$MN$于点$P$，当$F$在点$P$处时，$A_1F$与$B_1E$相交，故A正确；对于B，当$F$为$BB_1$的中点$M$时，$A_1F// D_1E$，故B错误；对于C，假设$A_1F$与$BE$不是异面直线，则两直线相交，由$A_1F\cap BF = F,BE\cap BF = B$，则$A_1F$与$BF$可确定平面$A_1BF$，$BE$与$BF$可确定平面$BB_1C_1C$，而两平面不同，这与三条两两相交不共点的直线确定一个平面矛盾，假设不成立，可得$A_1F$与$BE$是异面直线，故C正确；对于D，因为$MN// BC_1// AD_1,MN\not\subset$平面$AC_1D_1,AD_1\subset$平面$AC_1D_1$，所以$MN//$平面$AC_1D_1$，三棱锥$F - AC_1D_1$的高$h$为点$F$到平面$AC_1D_1$的距离，而点$F$在线段$MN$上运动，则$h$为点$M$到平面$AC_1D_1$的距离，为定值，又底面三角形$AC_1D_1$的面积为定值，可得三棱锥$F - AC_1D_1$的体积为定值，故D正确.