《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例1-2 (2025·徐州调研)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓后要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现三次音乐获得150分,出现两次音乐获得100分,出现一次音乐获得50分,没有出现音乐则获得$-300$分.设每次击鼓出现音乐的概率为$p(0\lt p\lt\frac{2}{5})$,且各次击鼓出现音乐相互独立.
(1)若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为$f(p)$,求$f(p)$的最大值点$p_{0}$;$\frac{1}{3}$$\frac{19}{27}$
(2)以(1)中确定的$p_{0}$作为$p$的值,玩3盘游戏,出现音乐的盘数为随机变量$X$,求每盘游戏出现音乐的概率$p_{1}$及随机变量$X$的期望$E(X)$;$\frac{19}{9}$每盘游戏平均得分是负分
(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了,请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

答案： 例1-2【解答】
(1)由题可知，一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为$f(p)=C_{3}^{1}p(1 - p)^{2}=3p^{3}-6p^{2}+3p$，$f^{\prime}(p)=3(3p - 1)·(p - 1)$.由$f^{\prime}(p)=0$，得$p=\frac{1}{3}$或$p = 1$（舍去），当$p\in(0,\frac{1}{3})$时，$f^{\prime}(p)＞0$；当$p\in(\frac{1}{3},\frac{2}{5})$时，$f^{\prime}(p)＜0$，所以$f(p)$在$(0,\frac{1}{3})$上单调递增，在$(\frac{1}{3},\frac{2}{5})$上单调递减，所以当$p=\frac{1}{3}$时，$f(p)$取最大值，即$f(p)$的最大值点$p_{0}=\frac{1}{3}$.
(2)由
(1)可知，$p = p_{0}=\frac{1}{3}$，则每盘游戏出现音乐的概率为$p_{1}=1-(1 - \frac{1}{3})^{3}=\frac{19}{27}$.由题可知$X\sim B(3,\frac{19}{27})$，所以$E(X)=3×\frac{19}{27}=\frac{19}{9}$.
(3)由题可设每盘游戏的得分为随机变量$\xi$，则$\xi$的可能取值为$-300,50,100,150$，所以$P(\xi=-300)=(1 - p)^{3}$，$P(\xi = 50)=C_{3}^{1}p(1 - p)^{2}$，$P(\xi = 100)=C_{3}^{2}p^{2}(1 - p)$，$P(\xi = 150)=p^{3}$，所以$E(\xi)=-300(1 - p)^{3}+50C_{3}^{1}p(1 - p)^{2}+100C_{3}^{2}p^{2}(1 - p)+150p^{3}=300(p^{3}-3p^{2}+\frac{7}{2}p - 1)$.令$g(p)=p^{3}-3p^{2}+\frac{7}{2}p - 1$，则$g^{\prime}(p)=3p^{2}-6p+\frac{7}{2}=3(p - 1)^{2}+\frac{1}{2}＞0$，所以$g(p)$在$(0,\frac{2}{5})$上单调递增，所以$g(p)＜g(\frac{2}{5})=-\frac{2}{125}＜0$，即有$E(\xi)＜0$，这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.