《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例 3 （2025·许昌二模）在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$。已知$a\cos B + b\cos A = abc$，$A + B = 2C$。
（1）求$\triangle ABC$的面积；
（2）求$AB$边上的高的最大值。$\frac{\sqrt{3}}{4}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 例3　[解答]
(1)在$\triangle ABC$中,由$A + B = 2C$,得$\pi-C = 2C$,解得$C=\frac{\pi}{3}$.由$a\cos B + b\cos A = abc$及正弦定理,得$\sin A\cos B+\sin B\cos A=ab·\sin C$,即$\sin(A + B)=ab·\sin C$,而$\sin C＞0$,故$ab = 1$,所以$\triangle ABC$的面积$S=\frac{1}{2}ab·\sin C=\frac{\sqrt{3}}{4}$.
(2)由余弦定理,得$c^2=a^2 + b^2-2ab\cos C=a^2 + b^2 - 1\geq2ab - 1 = 1$,即$c\geq1$,当且仅当$a = b$时取等号.设h为AB边上的高,则$S=\frac{1}{2}hc$,即$h=\frac{2S}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2}·\frac{1}{c}\leq\frac{\sqrt{3}}{2}$,所以AB边上的高的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

变式 3 （2025·苏北七市二调）记$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，面积为$S$，且$S = a^2\sin 2B$。
（1）求证：$\tan B = 3\tan A$；
（2）若$A = 45^{\circ}$，$BC$边上的高为$6$，求$b$。$\tan B = 3\tan A$$3\sqrt{5}$

答案：
变式3　[解答]
(1)因为$S=a^2\sin2B$,所以$\frac{1}{2}ac\sin B=2a^2·\sin B\cos B$,在$\triangle ABC$中,$\sin B＞0$,所以$c = 4a\cos B$.由正弦定理得$\sin C = 4\sin A\cos B$.因为$A + B + C = 180^{\circ}$,所以$\sin C=\sin(180^{\circ}-A - B)=\sin(A + B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$,所以$4\sin A\cos B=\sin A\cos B+\cos A\sin B$,即$\cos A\sin B = 3\sin A\cos B$,所以$\tan B = 3\tan A$.
(2)因为$A = 45^{\circ}$,所以$\tan A = 1$,由
(1)知$\tan B = 3$.
方法一:因为$\tan C=-\tan(A + B)=-\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}=2$,所以$\triangle ABC$为锐角三角形.如图,过点A作$AD\perp BC$,过点C作$CE\perp AB$,D,E分别为垂足.由$\tan A = 1$,设$AE = CE = 3x$.因为$\tan B = 3$,所以$CE = 3EB = 3x$,$AD = 3BD = 6$,$AB = 4x$,所以$36 + 4 = 16x^2$,解得$x^2=\frac{5}{2}$,所以在$Rt\triangle AEC$中,$AC=\sqrt{(3x)^2+(3x)^2}=3\sqrt{5}$,即$b = 3\sqrt{5}$.
　　　　　　　　
方法二:因为$\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}=3$,又$\sin^2B+\cos^2B = 1$,所以$\sin^2B=\frac{9}{10}$,$\cos^2B=\frac{1}{10}$.因为$\tan B = 3＞0$,所以$B\in(0,\frac{\pi}{2})$,所以$\sin B=\frac{3\sqrt{10}}{10}$,$\cos B=\frac{\sqrt{10}}{10}$.由$S=a^2\sin2B=\frac{1}{2}a×6$,得$a^2×(2\sin B\cos B)=3a$,解得$a = 5$.由正弦定理$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$得$\frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{b}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$,解得$b = 3\sqrt{5}$.