《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. (2025·滁州一模)已知数列$\{ a_{n}\}$的第1项和第2项均为1，以后各项由$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}(n\in \mathbf{N}^{*})$给出.若数列$\{ a_{n}\}$的各项除以3所得余数组成一个新数列$\{ b_{n}\}$，则$b_{2024}+b_{2025}=$(A)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.A 【解析】因为$a_{n + 2} = a_n + a_{n + 1}(n \in \mathbf{N}^*)$，$a_1 = a_2 = 1$，所以数列$\{ a_n \}$为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，⋯，此数列各项除以3的余数依次构成的数列$\{ b_n \}$为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,⋯，是以8为周期的周期数列，所以$b_{2024} + b_{2025} = 0 + 1 = 1$.

2. (人A选必二P16例4改)已知等差数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1}=2$，公差$d=8$，在$\{ a_{n}\}$中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列$\{ b_{n}\}$，则$b_{n}=$2n.

答案： 2.$2n$ 【解析】设数列$\{ b_n \}$的公差为$d'$.由题意可知，$b_1 = a_1$，$b_5 = a_2$，于是$b_5 - b_1 = a_2 - a_1 = 8$.因为$b_5 - b_1 = 4d'$，所以$4d' = 8$，所以$d' = 2$，所以$b_n = 2 + (n - 1) × 2 = 2n$，所以数列$\{ b_n \}$的通项公式是$b_n = 2n$.

3. (人A选必二P25习题8改)已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和是1472.

答案： 3.1472 【解析】由题得这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成的新数列为2,14,26,38,50，⋯，182，共有$\frac{182 - 2}{12} + 1 = 16$（项），也是等差数列，它们的和为$\frac{2 + 182}{2} × 16 = 1472$.

4. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=2n-1$，记$b_{m}$为$\{ a_{n}\}$在区间$(0,2^{m}](m\in \mathbf{N}^{*})$中的项的个数，则数列$\{ b_{n}\}$的通项公式是4^{n - 1}.

答案： 4.$b_n = 4^{n - 1}$ 【解析】由题意知$b_m$为$\{ a_n \}$在区间$(0,2^{2n - 1}]$中项的个数，令$0 ＜ 2n - 1 \leq 2^{2n - 1} - 1$，所以$\frac{1}{2} ＜ n \leq \frac{2^{2n - 1} + 1}{2} = 2^{2n - 2} + \frac{1}{2},n \in \mathbf{N}^*$，所以$1 \leq n \leq 2^{2n - 2}$，所以$b_m = 2^{2n - 2}$，所以$b_n = 2^{2n - 2} = 4^{n - 1}$.

例1 (多选)已知$n,m\in \mathbf{N}^{*}$，将数列$\{ 4n+1\}$与数列$\{ 5^{m}\}$的公共项从小到大排列得到数列$\{ a_{n}\}$，则(BC)
A.$a_{n}=5n$
B.$a_{n}=5^{n}$
C.$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$\frac{5(5^{n}-1)}{4}$
D.$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$\frac{5(25^{n}-1)}{24}$

答案： 例1 BC 【解析】令$4n + 1 = 5^m(n,m \in \mathbf{N}^*)$，所以$n = \frac{5^m - 1}{4} = \frac{(4 + 1)^m - 1}{4} = \frac{4^m + C_m^1 · 4^{m - 1} + ·s + C_m^{m - 1} · 4}{4} \in \mathbf{N}^*(m = 2,3,·s)$，当$m = 1$时，$n = 1$，所以数列$\{ 5^m \}$为数列$\{ 4n + 1 \}$的子数列，所以$a_n = 5^n(n = 1,2,3,·s)$，所以$\{ a_n \}$的前$n$项和为$\frac{5(1 - 5^n)}{1 - 5} = \frac{5(5^n - 1)}{4}$，故B,C正确，A,D错误.

变式1 将数列$\{ 5n-4\}$与数列$\{ n^{2}\}$的公共项从小到大排列得到数列$\{ a_{n}\}$，则使得$a_{n}＞2026$成立的$n$的最小值为19.

答案： 变式1 19 【解析】令数列$\{ 5n - 4 \}$的第$k$项与数列$\{ n^2 \}$的第$m$项为公共项，即$5k - 4 = m^2$，$k,m \in \mathbf{N}^*$，于是$k = \frac{m^2 + 4}{5} = \frac{(m + 1)(m - 1) + 5}{5} + 1$，则$m + 1 = 5i$或$m - 1 = 5(i - 1)$，$i \in \mathbf{N}^*$，即有$k = i(5i - 2) + 1$或$k = (i - 1)[5(i - 1) + 2] + 1$，$i \in \mathbf{N}^*$，因此$5k - 4 = 5i(5i - 2) + 1 = (5i - 1)^2$或$5k - 4 = 5(i - 1)[5(i - 1) + 2] + 1 = (5i - 4)^2$，$i \in \mathbf{N}^*$，从而数列$\{ a_n \}$是数列$\{ (5n - 4)^2 \}$和$\{ (5n - 1)^2 \}$的项从小到大排列得到的.显然数列$\{ (5n - 4)^2 \}$，$\{ (5n - 1)^2 \}$都是递增的，而当$n = 9$时，$(5n - 4)^2 = 41^2 = 1681 ＜ 2026$，$(5n - 1)^2 = 44^2 = 1936 ＜ 2026$，当$n = 10$时，$(5n - 1)^2 = 49^2 = 2401 ＞ 2026$，$(5n - 4)^2 = 46^2 = 2116 ＞ 2026$，显然$46^2 ＜ 49^2$，即数列$\{ a_n \}$前18项均小于2026，第19项为2116，是第一个大于2026的项，所以使得$a_n ＞ 2026$成立的$n$的最小值为19.