《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

变式1 (2025·保定质检改编)已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，$C$的上顶点为$A$，两个焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$，离心率为$\frac{1}{2}$。过$F_{1}$且垂直于$AF_{2}$的直线与$C$交于$D$，$E$两点，若$|DE|=6$，则$|DF_{1}|+|AD|$的值为$\frac{13}{2}$。

答案：
变式1$\frac{13}{2}$ [解析]因为椭圆的离心率为$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$，所以$a = 2c$，所以$b^2 = a^2 - c^2 = 3c^2$，所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{4c^2} + \frac{y^2}{3c^2} = 1$，即$3x^2 + 4y^2 - 12c^2 = 0$。不妨设左焦点为$F_1$，右焦点为$F_2$，如图所示，因为$|AF_2| = a$，$|OF_2| = c$，$a = 2c$，所以$\angle AF_2O = \frac{\pi}{3}$，所以$\triangle AF_1F_2$为正三角形。因为过$F_1$且垂直于$AF_2$的直线与$C$交于$D$，$E$两点，$DE$为线段$AF_2$的垂直平分线，所以直线$DE$的斜率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，斜率的倒数为$\sqrt{3}$，直线$DE$的方程为$x = \sqrt{3}y - c$，代入椭圆方程$3x^2 + 4y^2 - 12c^2 = 0$，整理得$13y^2 - 6\sqrt{3}cy - 9c^2 = 0$，$\Delta = (6\sqrt{3}c)^2 + 4×13×9c^2 = 6^2×16× c^2$，所以$|DE| = \sqrt{1 + (\sqrt{3})^2}·|y_1 - y_2| = 2×\frac{6×4× c}{13} = 6$，所以$c = \frac{13}{8}$，得$a = 2c = \frac{13}{4}$。因为$DE$为线段$AF_2$的垂直平分线，所以$|AD| = |DF_2|$，所以$|DF_1| + |AD| = |DF_1| + |DF_2| = 2a = \frac{13}{2}$。

例2 设椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右顶点分别为$A_{1}$，$A_{2}$，右焦点为$F$，已知$|A_{1}F|=3$，$|A_{2}F|=1$。
（1）求椭圆方程及其离心率；椭圆的方程为$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$离心率为$e = \frac{1}{2}$
（2）已知$P$是椭圆上一动点（不与端点重合），直线$A_{2}P$交$y$轴于点$Q$，若$\triangle A_{1}PQ$的面积是$\triangle A_{2}FP$的面积的两倍，求直线$A_{2}P$的方程。$y = \frac{\sqrt{6}}{2}(x - 2)$$y = -\frac{\sqrt{6}}{2}(x - 2)$

答案：
例2　[解答]
(1)如图，由题意得$\begin{cases}a + c = 3\\a - c = 1\end{cases}$，解得$a = 2$，$c = 1$，所以$b = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$，所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，离心率为$e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$。
(2)由题意知直线$A_2P$的斜率存在，由椭圆的方程为$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$可得$A_2(2,0)$，设直线$A_2P$的方程为$y = k(x - 2)$，联立$\begin{cases}\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1\\y = k(x - 2)\end{cases}$，消去$y$，整理得$(3 + 4k^2)x^2 - 16k^2x + 16k^2 - 12 = 0$，由韦达定理得$x_{A_2}· x_P = \frac{16k^2 - 12}{3 + 4k^2}$，所以$x_P = \frac{8k^2 - 6}{3 + 4k^2}$，所以$P(\frac{8k^2 - 6}{3 + 4k^2},\frac{-12k}{3 + 4k^2})$，$Q(0,-2k)$。所以$S_{\triangle A_2QA_1} = \frac{1}{2}×4×|y_Q|$，$S_{\triangle A_2PF} = \frac{1}{2}×1×|y_P|$，$S_{\triangle A_2A_1P} = \frac{1}{2}×4×|y_P|$，所以$S_{\triangle A_2QA_1} = S_{\triangle A_2PQ} + S_{\triangle A_2A_1P} = 2S_{\triangle A_2PF} + S_{\triangle A_2A_1P}$，所以$2|y_Q| = 3|y_P|$，即$2|-2k| = 3|\frac{-12k}{3 + 4k^2}|$，解得$k = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以直线$A_2P$的方程为$y = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}(x - 2)$。