《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. 已知 $ a ＞ b ＞ 0 $，$ p : x ＜ \frac { a + b } { 2 } $，$ q : x ＜ \sqrt { a b } $，则 $ p $ 是 $ q $ 成立的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件

答案： 1.B 【解析】由$a＞b＞0$，得$\sqrt{ab}＜\frac{a+b}{2}$，则当$x＜\sqrt{ab}$时，一定有$x＜\frac{a+b}{2}$，即$q\Rightarrow p$；反之不一定成立，如取$a=3,b=1,x=1.9$，则$\frac{a+b}{2}=2$，$\sqrt{ab}=\sqrt{3}$，显然$x＜\frac{a+b}{2}$成立，而$x＞\sqrt{ab}$，因此$p$成立，$q$不一定成立.综上，$p$是$q$成立的必要不充分条件.

2. 已知 $ 0 ＜ a ＜ \sqrt { 2 } $，则 $ a \sqrt { 2 - a ^ { 2 } } $ 的最大值为(C)

A.$ \frac { 1 } { 2 } $
B.$ \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } $
C.1
D.$ \sqrt { 2 } $

答案： 2.C 【解析】因为$0＜a＜\sqrt{2}$，所以$2-a^2＞0$，从而$a\sqrt{2-a^2}=\sqrt{a^2(2-a^2)}\leqslant\frac{a^2+(2-a^2)}{2}=1$，当且仅当$a^2=2-a^2$，即$a=1$时取等号，所以$a\sqrt{2-a^2}$的最大值为1.

3. 若 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，且 $ a + b = 4 $，则下列不等式恒成立的是(C)

A.$ 0 ＜ a ＜ 2 $
B.$ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } \leq 1 $
C.$ \sqrt { a b } \leq 2 $
D.$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \leq 8 $

答案： 3.C 【解析】因为$a＞0,b＞0$，当$a=3,b=1$时，满足$a+b=4$，而$ab=3$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}$，$a^2+b^2=10$，所以选项A,B,D错误.由基本不等式$a+b\geqslant2\sqrt{ab}$，得$\sqrt{ab}\leqslant\frac{a+b}{2}=2$，当且仅当$a=b=2$时取等号，故C正确.

4. 已知正实数 $ x $，$ y $ 满足 $ x ^ { 2 } + 3 x y - 2 = 0 $，则 $ 2 x + y $ 的最小值为(A)

A.$ \frac { 2 \sqrt { 10 } } { 3 } $
B.$ \frac { \sqrt { 10 } } { 3 } $
C.$ \frac { 2 } { 3 } $
D.$ \frac { 1 } { 3 } $

答案： 4.A 【解析】因为正实数$x,y$满足$x^2+3xy-2=0$，所以$y=\frac{2}{3x}-\frac{x}{3}$，则$2x+y=2x+\frac{2}{3x}-\frac{x}{3}=\frac{5x}{3}+\frac{2}{3x}\geqslant2\sqrt{\frac{5x}{3}·\frac{2}{3x}}=\frac{2\sqrt{10}}{3}$，当且仅当$x=\frac{\sqrt{10}}{5}$，$y=\frac{4\sqrt{10}}{15}$时等号成立，所以$2x+y$的最小值为$\frac{2\sqrt{10}}{3}$.

例 1(1)(2025·开封调研)已知正实数 $ m $，$ n $ 满足 $ m n = 2 $，则 $ \frac { 1 } { m } + \frac { 2 } { n } + \frac { 9 } { 2 m + n } $ 的最小值为(C)

A.$ 2 \sqrt { 2 } $
B.3
C.$ 3 \sqrt { 2 } $
D.4

答案： 例1
(1)C 【解析】由$mn=2$，可得$n=\frac{2}{m}$，则$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}+\frac{9}{2m+n}=m+\frac{1}{m}+m+\frac{9}{2m+\frac{2}{m}}$.设$\frac{1}{m}+m=t$，则$t\geqslant2$，原式为$t+\frac{9}{2t}\geqslant2\sqrt{t×\frac{9}{2t}}=3\sqrt{2}$，当且仅当$t=\frac{3\sqrt{2}}{2}$时等号成立.

(2)(2025·诸暨质检)已知 $ x $，$ y $，$ z $ 均为正数，且 $ \frac { 2 } { x } + \frac { 1 } { y } = 2 $，$ x + 2 y + 2 z = x y z $，则 $ x y z $ 的最小值为16.

答案：
(2)16 【解析】由$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=2$可得$x+2y=2xy$，则$xyz=x+2y+2z=2xy+2z\geqslant4\sqrt{xyz}$，即得$xyz\geqslant16$，当且仅当$x=4-2\sqrt{2}$，$y=2+\sqrt{2}$，$z=4$或$x=4+2\sqrt{2}$，$y=2-\sqrt{2}$，$z=4$时取等号.

变式 1 已知 $ 5 m ^ { 2 } n ^ { 2 } + n ^ { 4 } = 1 $，则 $ m ^ { 2 } + n ^ { 2 } $ 的最小值为(C)

A.$ \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } $
B.$ \sqrt { 6 } $
C.$ \frac { 4 } { 5 } $
D.$ \frac { 5 } { 4 } $

答案： 变式1 C 【解析】由$5m^2n^2+n^4=1$，可得$n\neq0$，$m^2=\frac{1}{5}(\frac{1}{n^2}-n^2)$，于是$m^2+n^2=\frac{1}{5}(\frac{1}{n^2}+4n^2)\geqslant\frac{1}{5}×2\sqrt{\frac{1}{n^2}·4n^2}=\frac{4}{5}$，当且仅当$\frac{1}{n^2}=4n^2$，即$n^2=\frac{1}{2}$时取等号，即当$n^2=\frac{1}{2}$，$m^2=\frac{3}{10}$时，$m^2+n^2$取得最小值$\frac{4}{5}$.