《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例 2(1)已知正数 $ a $，$ b $，$ c $ 满足 $ 2 a + b + 3 c = 8 $，则 $ \frac { a + b + 2 c } { b + c } + \frac { 1 } { a + c } $ 的最小值为(D)

A.$ 2 \sqrt { 2 } $
B.$ \frac { 3 + 2 \sqrt { 2 } } { 4 } $
C.$ 3 \sqrt { 2 } - 1 $
D.$ \frac { 5 + 2 \sqrt { 2 } } { 4 } $

答案： 例2
(1)D 【解析】正数$a,b,c$满足$2a+b+3c=8$，即$2(a+c)+(b+c)=8$，令$a+c=m$，$b+c=n$，故$2m+n=8$，$m＞0$，$n＞0$.$\frac{a+b+2c}{b+c}+\frac{1}{a+c}=\frac{a+c+b+c}{b+c}+\frac{1}{a+c}+1=\frac{m}{n}+\frac{1}{m}+1=\frac{4}{n}+\frac{1}{m}+\frac{1}{8}(\frac{4}{n}+\frac{1}{m})(2m+n)=\frac{1}{8}(\frac{8m}{n}+4+2+\frac{n}{m})\geqslant\frac{1}{8}(6+2\sqrt{\frac{8m}{n}·\frac{n}{m}})=\frac{3+2\sqrt{2}}{4}$，当且仅当$\frac{8m}{n}=\frac{n}{m}$，$2m+n=8$，即$m=4\sqrt{2}-4$，$n=16-8\sqrt{2}$时等号成立，故$\frac{a+b+2c}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{m}\geqslant\frac{3+2\sqrt{2}}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5+2\sqrt{2}}{4}$.

(2)(2025·常州质检)已知 $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，且 $ x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } + 4 x y = 8 $，则 $ 3 x + 5 y $ 的最小值为8.

答案：
(2)8 【解析】由$x^2+3y^2+4xy=8$，因式分解可得$(x+3y)(x+y)=8$.令$a=x+y$，$b=x+3y$，则$a＞0$，$b＞0$，$ab=8$.解方程组$\begin{cases}a=x+y,\\b=x+3y.\end{cases}$得$\begin{cases}x=\frac{3a-b}{2},\\y=\frac{b-a}{2}.\end{cases}$此时$3x+5y=3×\frac{3a-b}{2}+\frac{5b-5a}{2}=\frac{4a+2b}{2}=2a+b\geqslant2\sqrt{2ab}=8$，当且仅当$2a=b$，$ab=8$，即$a=2$，$b=4$时等号成立，此时$x=y=1$，所以$3x+5y$的最小值为8.

变式 2(1)若 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，$ a + b + c = 2 $，则 $ \frac { 4 } { a + b } + \frac { a + b } { c } $ 的最小值为2+2\sqrt{2}.

答案：
(1)$2+2\sqrt{2}$ 【解析】由题意，$a＞0$，$b＞0$，$c＞0$，由$a+b+c=2$，设$a+b=m$，$c=n(m＞0,n＞0)$，则$m+n=2$，故$\frac{4}{a+b}+\frac{a+b}{c}=\frac{4}{m}+\frac{m}{n}=\frac{4}{m}+\frac{2-n}{n}=\frac{4}{m}+\frac{2}{n}-1=\frac{1}{2}(m+n)(\frac{4}{m}+\frac{2}{n})-1=3+\frac{2n}{m}+\frac{m}{n}-1\geqslant2+2\sqrt{\frac{2n}{m}·\frac{m}{n}}=2+2\sqrt{2}$，当且仅当$m=\sqrt{2}n$，$m+n=2$，即$m=a+b=4-2\sqrt{2}$，$n=c=2\sqrt{2}-2$时取等号，故$\frac{4}{a+b}+\frac{a+b}{c}$的最小值为$2+2\sqrt{2}$.

(2)已知实数 $ x $，$ y $ 满足 $ x ^ { 2 } + x y - 6 y ^ { 2 } = 5 $，则 $ x ^ { 2 } + 4 x y + 8 y ^ { 2 } $ 的最小值是4.

答案：
(2)4 【解析】已知$x^2+xy-6y^2=5$，根据十字相乘法因式分解可得$(x+3y)(x-2y)=5$.设$a=x+3y$，$b=x-2y$，则$ab=5$.由$\begin{cases}a=x+3y,\\b=x-2y.\end{cases}$通过解方程组可得$x=\frac{2a+3b}{5}$，$y=\frac{a-b}{5}$.将$x=\frac{2a+3b}{5}$，$y=\frac{a-b}{5}$代入$x^2+4xy+8y^2$，得$x^2+4xy+8y^2=(\frac{2a+3b}{5})^2+4×\frac{2a+3b}{5}×\frac{a-b}{5}+8×(\frac{a-b}{5})^2=\frac{4a^2+b^2}{5}\geqslant\frac{1}{5}×2×2a× b=\frac{4}{5}ab=4$，当且仅当$2a=b$，$ab=5$，即$a=\frac{\sqrt{10}}{2}$，$b=\sqrt{10}$时等号成立.

例 3(1)(2025·承德调研)已知 $ x ＞ 0 $，$ y ＞ 0 $，且 $ x + 2 y = 1 $，则 $ \frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { y } + \frac { y } { x } + \frac { 2 x } { y } $ 的最小值为9+6\sqrt{2}.

答案：
(1)$9+6\sqrt{2}$ 【解析】第一次使用基本不等式：因为$x+2y=1$，所以$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})(x+2y)=1+8+\frac{2y}{x}+\frac{4x}{y}\geqslant9+2\sqrt{\frac{2y}{x}·\frac{4x}{y}}=9+4\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{2y}{x}=\frac{4x}{y}$时等号成立.第二次使用基本不等式：$\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}\geqslant2\sqrt{\frac{y}{x}·\frac{2x}{y}}=2\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{y}{x}=\frac{2x}{y}$时等号成立.综合结果：将两部分相加，$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}\geqslant9+4\sqrt{2}+2\sqrt{2}=9+6\sqrt{2}$，所以$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}$的最小值为$9+6\sqrt{2}$.

(2)已知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ c ＞ 2 $，且 $ a + b = 1 $，则 $ \frac { 3 a c } { b } + \frac { c } { a b } + \frac { 6 } { c - 2 } $ 的最小值是24..

答案：
(2)24 【解析】由于$\frac{3ac}{b}+\frac{c}{abc-2}=(\frac{3a}{b}+\frac{1}{ab})c+\frac{6}{c-2}$，故考虑先求出$\frac{3a}{b}+\frac{1}{ab}$的最小值，$\frac{3a}{b}+\frac{1}{ab}=\frac{3a}{b}+\frac{a+b}{ab}=\frac{3a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2=\frac{4a}{b}+\frac{b}{a}+2\geqslant2\sqrt{\frac{4a}{b}·\frac{b}{a}}+2=6$，则$\frac{3ac}{b}+\frac{c}{ab}+\frac{6}{c-2}\geqslant6c+\frac{6}{c-2}+12\geqslant2\sqrt{6(c-2)·\frac{6}{c-2}}+12=24$，当且仅当$\frac{4a}{b}=\frac{b}{a}$，$a+b=1$，且$6(c-2)=\frac{6}{c-2}$，即$a=\frac{1}{3}$，$b=\frac{2}{3}$，$c=3$时取等号.

变式 3 已知 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，且 $ a + b + c = 3 $，则 $ \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { b ^ { 2 } } { c } + \frac { c ^ { 2 } } { a } $ 的最小值为(A)

A.3
B.4
C.6
D.9

答案： 变式3 A 【解析】第一次使用基本不等式：$\frac{a^2}{b}+b\geqslant2\sqrt{\frac{a^2}{b}· b}=2a$，当且仅当$\frac{a^2}{b}=b$，即$a=b$时等号成立.第二次使用基本不等式：$\frac{b^2}{c}+c\geqslant2b$，当且仅当$b=c$时等号成立.第三次使用基本不等式：$\frac{c^2}{a}+a\geqslant2c$，当且仅当$c=a$时等号成立.综合三个不等式：将上述三个不等式相加得$(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})+(a+b+c)\geqslant2(a+b+c)$，因为$a+b+c=3$，所以$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\geqslant a+b+c=3$，当且仅当$a=b=c=1$时等号成立.

例 4 设 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，已知 $ a ^ { 2 } c + b ^ { 2 } c = 1 $，则 $ \min \left\{ \max \left\{ \frac { 1 } { a }, \frac { 1 } { b }, \frac { 1 } { c } \right\} \right\} = $\sqrt[3]{2}.

答案： 例4 $\sqrt[3]{2}$ 【解析】由$a^2c+b^2c=1$，得$a^2+b^2=\frac{1}{c}$.设$\max\{\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{b^2c}\}=M$，则$M\geqslant\frac{1}{a}$，$M\geqslant\frac{1}{b}$，$M\geqslant\frac{1}{b^2c}=a^2+b^2\geqslant2ab$.方法一：$M^3\geqslant\frac{1}{a}×\frac{1}{b}×(a^2+b^2)\geqslant2$，当且仅当$a=b=2^{-\frac{1}{3}}$时取等号.方法二：$3M=2\sqrt{M}·\sqrt{M}+M\geqslant2·\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+2ab\geqslant3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{ab}}·\frac{1}{\sqrt{ab}}·2ab}=3\sqrt[3]{2}$，当且仅当$a=b=c=2^{-\frac{1}{3}}$时取等号，所以$\min\{\max\{\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{b^2c}\}\}=\sqrt[3]{2}$.

变式 4 若 $ a ＞ 0 $，$ b ＞ 0 $，$ c ＞ 0 $，则 $ \max \left\{ \min \left\{ \frac { 1 } { a }, \frac { 1 } { b ^ { 2 } }, \frac { 1 } { c ^ { 3 } }, a + b ^ { 2 } + c ^ { 3 } \right\} \right\} = $\sqrt{3}.

答案： 变式4 $\sqrt{3}$ 【解析】设$t=\min\{\frac{1}{a},\frac{1}{b^2},\frac{1}{c^3},a+b^2+c^3\}$，则$t\leqslant\frac{1}{a}$，$t\leqslant\frac{1}{b^2}$，$t\leqslant\frac{1}{c^3}$，$t\leqslant a+b^2+c^3$，故$a\leqslant\frac{1}{t}$，$b^2\leqslant\frac{1}{t}$，$c^3\leqslant\frac{1}{t}$，则$t\leqslant a+b^2+c^3\leqslant\frac{3}{t}$，解得$t\leqslant\sqrt{3}$，当且仅当$\frac{1}{a}=\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^3}=a+b^2+c^3$，即$a=b^2=c^3=\frac{\sqrt{3}}{3}$时取等号.