《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. 已知正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$，过点 $A$ 且以 $\overrightarrow{DB_1}$ 为法向量的平面为 $\alpha$，则 $\alpha$ 截该正方体所得截面的形状为(A)

A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形

答案：
1.A[解析]如图，连接$AC,AD_{1},CD_{1}$，$BD$.因为$BB_{1}\perp$平面$ABCD$，$AC\subset$平面$ABCD$，所以$BB_{1}\perp AC$.又四边形$ABCD$为正方形，所以$BD\perp AC$，又$BB_{1}\cap BD=B$，$BB_{1},BD\subset$平面$BB_{1}D$，所以$AC\perp$平面$BB_{1}D$.因为$B_{1}D\subset$平面$BB_{1}D$，所以$AC\perp B_{1}D$，同理可证明$AD_{1}\perp B_{1}D$.因为$AD_{1}\cap AC=A$，$AD_{1},AC\subset$平面$ACD_{1}$，所以$B_{1}D\perp$平面$ACD_{1}$，所以平面$\alpha$即为平面$ACD_{1}$，则$\alpha$截该正方体所得截面的形状为三角形.

2. 若球的两个平行截面的面积分别为 $10\pi$ 和 $16\pi$，球心到这两个截面的距离之差为 $\sqrt{2}$，则该球的直径为(D)

A.$3\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{2}$

答案：
2.D　[解析]设球心为$O$，半径为$R$.若两平面在球心同一侧，画出其截面图，如图
(1)，设$OA=d$，由题可得$AD=4$，$BC=\sqrt{10}$，$AB=\sqrt{2}$，$OD=OC=R$，则$\begin{cases}R^{2}=4^{2}+d^{2},\\R^{2}=(\sqrt{10})^{2}+(d+\sqrt{2})^{2}.\end{cases}$解得$\begin{cases}d=\sqrt{2},\\R=3\sqrt{2},\end{cases}$故该球的直径为$2R=6\sqrt{2}$；若两平面在球心两侧，画出其截面图，如图
(2)，设$OA=d$，由题可得$AD=4$，$BC=\sqrt{10}$，$OB=\sqrt{2}+d$，$OD=OC=R$，则$\begin{cases}R^{2}=4^{2}+d^{2},\\R^{2}=(\sqrt{10})^{2}+(\sqrt{2}+d)^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}d=\sqrt{2},\\R=3\sqrt{2},\end{cases}$故该球的直径为$2R=6\sqrt{2}$.综上，该球的直径为$6\sqrt{2}$.

3. 如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$P$ 为截面 $A_1C_1B$ 上的动点，若 $DP\perp A_1C$，则点 $P$ 的轨迹长度是(B)

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\sqrt{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$1$

答案：
3.B[解析]如图，连接$DC_{1},BD,AC$.由$AA_{1}\perp$平面$ABCD$，$BD\subset$平面$ABCD$，得$BD\perp AA_{1}$.又$BD\perp AC$，$AA_{1}\cap AC=A$，$AA_{1},AC\subset$平面$AA_{1}C$，所以$BD\perp$平面$AA_{1}C$.又$A_{1}C\subset$平面$AA_{1}C$，所以$BD\perp A_{1}C$，同理$BC_{1}\perp A_{1}C$.又$BC_{1}\cap BD=B$，$BC_{1},BD\subset$平面$BC_{1}D$，所以$A_{1}C\perp$平面$BC_{1}D$.因为$DP\perp A_{1}C$，所以$DP\subset$平面$BC_{1}D$，而点$P$为截面$A_{1}C_{1}B$上的动点，平面$A_{1}C_{1}B\cap$平面$BC_{1}D=BC_{1}$，所以点$P$的轨迹是线段$BC_{1}$，长度为$\sqrt{2}$.

4. 在棱长为 $1$ 的正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$Q$ 为侧面 $BB_1C_1C$ 内一动点(含边界)，若 $D_1Q = \frac{\sqrt{5}}{2}$，则点 $Q$ 的轨迹长度为$\frac{\pi}{4}$。

答案： 4.$\frac{\pi}{4}$　[解析]由题意，点$Q$在平面$BB_{1}C_{1}C$内的轨迹是以$C_{1}$为圆心，$\frac{1}{2}$为半径的四分之一圆弧，如图，所以轨迹长度为$\frac{1}{4}×2\pi×\frac{1}{2}=\frac{\pi}{4}$.