《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例1 (2025·辽宁省三模)甲、乙两人进行一场网球比赛，比赛采用三局两胜制，每局都没有平局，且甲第一局获胜的概率为$p(0 ＜ p ＜ 1)$.从第二局开始，若上一局甲获胜，则下一局甲获胜的概率为$p^{2}$，若上一局甲未获胜，则下一局甲获胜的概率为$1 - p$.
(1) 当$p = \frac{1}{2}$时，求甲第二局获胜的概率.$\frac{3}{8}$
(2) 若甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为$\frac{1}{9}$.
①求$p$；$\frac{2}{3}$
②记这场比赛需要进行的局数为$X$，求$X$的分布列与数学期望.X的分布列为：X23P$\frac{14}{27}$$\frac{13}{27}$，数学期望为$\frac{67}{27}$

答案： 例1【解答】
(1)设$A_i$=“甲第$i$局获胜”，其中$i$=1,2,3，依题意得$P(A_1)$=$p$，当$p$=$\frac{1}{2}$时，由全概率公式得$P(A_2)$=$P(A_1A_2)$+$P(\overline{A_1}A_2)$=$P(A_1)P(A_2|A_1)$+$P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1})$=$p$·$p^2$+$(1-p)^2$=($\frac{1}{2}$)$^3$+$(1-\frac{1}{2})^2$=$\frac{3}{8}$，所以当$p$=$\frac{1}{2}$时，甲第二局获胜的概率为$\frac{3}{8}$.
(2)①甲第一局未获胜且第二局获胜的概率为$(1-p)^2$，依题意得$(1-p)^2$=$\frac{1}{9}$，解得$p$=$\frac{2}{3}$.
②X的可能取值为2,3，$P(X=2)$=$P(A_1A_2)$+$P(\overline{A_1}\overline{A_2})$=$p$·$p^2$+$(1-p)p$=($\frac{2}{3}$)$^3$+$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{14}{27}$，$P(X=3)$=$P(A_1\overline{A_2}A_3)$+$P(\overline{A_1}A_2\overline{A_3})$+$P(A_1\overline{A_2}\overline{A_3})$+$P(\overline{A_1}\overline{A_2}A_3)$=$p(1-p^2)(1-p)$+$(1-p)p^2p$=$\frac{13}{27}$(或$P(X=3)$=1-$P(X=2)$=$\frac{13}{27}$)，所以X的分布列为
X23
P$\frac{14}{27}$$\frac{13}{27}$
所以$E(X)$=2×$\frac{14}{27}$+3×$\frac{13}{27}$=$\frac{67}{27}$.