《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例2 （2025·郑州三模）已知数列$\{ a_{n}\}$的首项$a_{1}=-\frac {1}{2}$，且满足$a_{n+1}+a_{n}=\frac {3}{2}× (\frac {1}{2})^{n}$.
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）设$b_{n}=na_{n}$，数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，若不等式$(-1)^{n}\lambda \lt S_{n}+\frac {n}{2^{n}}+\frac {n}{2}$对一切$n\in \mathbf{N}^{*}$恒成立，求实数$\lambda$的取值范围.$a_n = (-1)^n + \frac{1}{2^n}$$\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$

答案： （1）数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = (-1)^n + \frac{1}{2^n}$。（2）实数$\lambda$的取值范围为$\left(-\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$。

变式2 已知$\{ a_{n}\}$为等差数列，且$a_{5}=3a_{1}$，$a_{1}+a_{5}+a_{14}=a_{10}+24$.
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）若$2^{n}· \lambda \geqslant a_{1}+a_{2}+·s +a_{n}$恒成立，求实数$\lambda$的取值范围.$a_n = 2n + 2$$\left[\frac{5}{2}, +\infty\right)$

答案： （1）数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n + 2$。（2）实数$\lambda$的取值范围为$\left[\frac{5}{2}, +\infty\right)$。