《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

3. 一组不全相等的数据，去掉一个最大值，则下列数字特征一定改变的是(C)

A.极差
B.中位数
C.平均数
D.众数

答案： 3 C 【解析】对于A，去掉一个最大值后，新极差为原次大值与最小值之差，若原次大值等于最大值，则极差不变，若原次大值不等于最大值，则极差改变，故A错误；对于B，去掉一个最大值后，中位数可能改变，可能不变，如原数据为$1,2,2,3$，中位数为$2$，去掉$3$后，数据为$1,2,2$，中位数还是$2$，故B错误；对于C，设原平均数为$\overline{x} = \frac{x_{1} + ·s + x_{n}}{n}$，且$x_{1},x_{2},·s,x_{n}$按照从小到大的顺序，假设去掉最大值$x_{n}$后平均数不变，则$\overline{x} = \frac{x_{1} + ·s + x_{n - 1}}{n - 1}$，所以$\overline{x} = \frac{n\overline{x} - x_{n}}{n - 1}$，解得$\overline{x} = x_{n}$，由于原数据不全相等，则$\overline{x} ＜ x_{n}$，故矛盾，所以平均数一定改变，故C正确；对于D，众数不一定改变，如数据为$2,2,3,4$，众数为$2$，去掉$4$后，众数仍为$2$，故D错误.

4. 据统计，$2016$年至$2020$年我国高校毕业生人数$y$(单位：万人)的数据如下表所示。根据表中数据，$y$与$x$的样本相关系数$r$为0.99(保留两位有效数字，参考数据：$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i}-\overline{x})^{2}=10$，$\sum_{i = 1}^{5}(y_{i}-\overline{y})^{2}=6733.2$，$\sqrt{67332}\approx259.5$)。

答案： 4 0.99 【解析】由题得$\overline{x} = 18$，$\overline{y} = 817.6$，所以$\sum_{i = 1}^{5}(x_{i} - \overline{x})(y_{i} - \overline{y}) = (-2) × (-52.6) + (-1) × (-22.6) + 16.4 + 2 ×56.4 = 257$，所以$r = \frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i} - \overline{x})(y_{i} - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i} - \overline{x})^{2}}\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(y_{i} - \overline{y})^{2}}} = \frac{257}{\sqrt{10} × \sqrt{6733.2}} \approx \frac{257}{259.5} \approx 0.99$.

例 1 (多选)某同学掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数。根据该同学记录的结果，判断可能出现点数$6$的是(ABD)
A.平均数为$3$，中位数为$2$
B.中位数为$3$，众数为$2$
C.平均数为$2$，方差为$2.4$
D.中位数为$3$，方差为$2.8$

答案： 例1 ABD 【解析】对于A，当投掷骰子出现结果为$1,1,2,5,6$时，满足平均数为$3$，中位数为$2$，可以出现点数$6$，故A符合题意；对于B，当投掷骰子出现结果为$2,2,3,4,6$时，满足中位数为$3$，众数为$2$，可以出现点数$6$，故B符合题意；对于C，若平均数为$2$，且出现$6$点，则方差$s^{2} ＞ \frac{1}{5}(6 - 2)^{2} = 3.2 ＞ 2.4$，故平均数为$2$，方差为$2.4$时，一定没有出现点数$6$，故C不符合题意；对于D，当投掷骰子出现结果为$1,2,3,3,6$时，满足中位数为$3$，平均数为$\overline{x} = \frac{1}{5} × (1 + 2 + 3 + 3 + 6) = 3$，方差为$s^{2} = \frac{1}{5} × [(1 - 3)^{2} + (2 - 3)^{2} + (3 - 3)^{2} + (3 - 3)^{2} + (6 - 3)^{2}] = 2.8$，可以出现点数$6$，故D符合题意.

变式 1 (多选)某班语文老师对该班甲、乙、丙、丁$4$名同学连续$7$周每周阅读的天数(每周阅读天数可以是$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$，$7$)进行统计，根据统计所得数据对这$4$名同学这$7$周每周的阅读天数分别做了如下描述：
甲：中位数为$4$，极差为$3$；
乙：中位数为$3$，众数为$5$；
丙：中位数为$4$，平均数为$3$；
丁：平均数为$3$，方差为$3$。
那么可以判断一周阅读天数一定没有出现$7$天的是(BCD)

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

答案： 变式1 BCD 【解析】对于甲，因为中位数为$4$，极差为$3$，所以这$7$个数可以是$4,4,4,4,4,4,7$，则甲不符合题意.对于乙，因为中位数为$3$，众数为$5$，所以这$7$个数从小到大排列后，第$4$个数是$3$，所以$1,2,3$中一定有一个数出现$2$次，$5$出现$3$次，所以这$7$个数中一定没有出现$7$，乙符合题意.对于丙，若出现$1$个$7$，则这$7$个数从小到大排列后，后$4$个数之和最小为$19$，前$3$个数之和最小为$3$，从而这$7$个数的平均数最小为$\frac{22}{7} ＞ 3$，即这$7$个数的平均数不可能为$3$，故丙符合题意.对于丁，设这$7$个数分别为$x_{1}$，$x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7}$，则$x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} = 21$，$(x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} - 3)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} + (x_{4} - 3)^{2} + (x_{5} - 3)^{2} +(x_{6} - 3)^{2} + (x_{7} - 3)^{2} = 21$.若$x_{1} = 7$，则$x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} +x_{7} = 14$，$(x_{2} - 3)^{2} + (x_{3} - 3)^{2} + (x_{4} - 3)^{2} + (x_{5} - 3)^{2} + (x_{6} -3)^{2} + (x_{7} - 3)^{2} = 5$，从而$x_{2},x_{3},x_{4},x_{5},x_{6},x_{7}$这$6$个数可能是$4,4,4,4,3,2$或$4,4,4,3,2,2$或$4,4,3,2,2,2$或$4,3,2,2,2,2$或$3,2,2,2,2,2$或$5,4,3,3,3,3$或$5,3,3,3,3,2$或$4,3,3,3,3,1$或$3,3,3,3,2,1$，这与$x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} + x_{7} =14$矛盾，即这$7$个数中一定没有出现$7$，故丁符合题意.