《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

变式2（2025·南阳期末）高三（1）班有55名同学，在某次考试中总成绩在650分（含650分）以上的有4人：甲、乙、丙、丁；在600分～650分之间的有15人：戊、己、庚、辛、壬、癸、子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申.其中数学成绩超过120分的有10人：甲、乙、丙、丁、戊、庚、寅、辰、壬、申.
（1）从该班同学中任选一人，求在该同学数学成绩超过120分的条件下，总成绩超过650分的概率.
（2）从数学成绩超过120分的同学中随机抽取3人.
①采取不放回抽样方式抽取，记$X$为成绩在600分～650分之间的同学的个数，求$X$的分布列和数学期望；
②采取放回抽样方式抽取，记$Y$为成绩在600分～650分之间的同学的个数，求$E(Y)$的值.（直接写出结果）X的可能取值为0,1,2,3$P(X=0)=\frac{1}{30}$，$P(X=1)=\frac{3}{10}$，$P(X=2)=\frac{1}{2}$，$P(X=3)=\frac{1}{6}$X的分布列为$X$ 0 1 2 3$P$ $\frac{1}{30}$ $\frac{3}{10}$ $\frac{1}{2}$ $\frac{1}{6}$$E(X)=\frac{9}{5}$$\frac{9}{5}$

答案： 变式2【解答】
(1)方法一：记事件$A$：所抽取的学生的数学成绩超过120分，则$P ( A ) = \frac { 1 0 } { 5 5 }$，记事件$B$：所抽取的学生的总成绩超过650分，则$P ( A B ) = \frac { 4 } { 5 5 }$，所以$P ( B | A ) = \frac { P ( A B ) } { P ( A ) } = \frac { \frac { 4 } { 5 5 } } { \frac { 1 0 } { 5 5 } } = \frac { 2 } { 5 }$.
即任取一人，在数学成绩超过120分的条件下，总成绩超过650分的概率为$\frac { 2 } { 5 }$.
方法二：数学成绩超过120分的有10人，其中包含总成绩超过650分以上的有4人，所以任取一人，在数学成绩超过120分的条件下，总成绩超过650分的概率为$\frac { 4 } { 1 0 } = \frac { 2 } { 5 }$.
(2)①10名数学成绩超过120分的同学包含6个总成绩在600分～650分之间的，所以X所有可能的取值为0,1,2,3，$P ( X = 0 ) = \frac { C _ { 6 } ^ { 0 } C _ { 4 } ^ { 3 } } { C _ { 1 0 } ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 3 0 }$，$P ( X = 1 ) = \frac { C _ { 6 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 2 } } { C _ { 1 0 } ^ { 3 } } = \frac { 3 6 } { 1 2 0 } = \frac { 3 } { 1 0 }$，$P ( X = 2 ) = \frac { C _ { 6 } ^ { 2 } C _ { 4 } ^ { 1 } } { C _ { 1 0 } ^ { 3 } } = \frac { 6 0 } { 1 2 0 } = \frac { 1 } { 2 }$，$P ( X = 3 ) = \frac { C _ { 6 } ^ { 3 } C _ { 4 } ^ { 0 } } { C _ { 1 0 } ^ { 3 } } = \frac { 2 0 } { 1 2 0 } = \frac { 1 } { 6 }$，所以X的分布列为
$X$ 0 1 2 3
$P$ $\frac { 1 } { 3 0 }$ $\frac { 3 } { 1 0 }$ $\frac { 1 } { 2 }$ $\frac { 1 } { 6 }$
所以$E ( X ) = 0 × \frac { 1 } { 3 0 } + 1 × \frac { 3 } { 1 0 } + 2 × \frac { 1 } { 2 } + 3 × \frac { 1 } { 6 } = \frac { 9 } { 5 }$.
②10名数学成绩超过120分的同学包含6个总成绩在600分～650分之间的，按可放回抽样的方式随机抽取，则随机变量$Y \sim B ( 3 , \frac { 3 } { 5 } )$，所以$E ( Y ) = 3 × \frac { 3 } { 5 } = \frac { 9 } { 5 }$.