《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例 1 （2021·新高考Ⅰ卷改编）已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1,a_{n + 1}=\begin{cases}a_{n}+1,n 为奇数,\\a_{n}+2,n 为偶数.\end{cases}$
（1）记$b_{n}=a_{2n}$，写出$b_{1},b_{2}$，并求数列$\{ b_{n}\}$和$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）求$\{ a_{n}\}$的前 20 项和；
（3）求$\{ a_{n}\}$的前$n$项和$S_{n}$。（1）$b _ { 1 } = 2$，$b _ { 2 } = 5$；$b _ { n } = 3 n - 1$；$a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } \frac { 3 n - 2 } { 2 } , n为偶数， \\ \frac { 3 n - 1 } { 2 } , n为奇数. \end{array} \right.$（2）300；（3）$S _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } \frac { 3 } { 4 } n ^ { 2 } , n为偶数， \\ \frac { 3 n ^ { 2 } + 1 } { 4 } , n为奇数. \end{array} \right.$

答案： 例1 【解答】
(1)由题意知$b _ { 1 } = a _ { 2 } = a _ { 1 } + 1 = 2 , b _ { 2 } = a _ { 3 } +$ $1 = a _ { 2 } + 2 + 1 = 5$.由$b _ { n + 1 } = a _ { 2 n + 2 } = a _ { 2 n + 1 } + 1 = a _ { 2 n } +$ $3 = b _ { n } + 3$，得$b _ { n + 1 } - b _ { n } = 3$，所以$\{ b _ { n } \}$是首项为$2$，公差为$3$的等差 数列，因此$b _ { n } = 2 + ( n - 1 ) × 3 = 3 n - 1$.当$n$为偶数时，$a _ { n } = b _ { \frac { n } { 2 } } =$ $\frac { 3 n } { 2 } - 1 = \frac { 3 n - 2 } { 2 }$；当$n$为奇数时，$a _ { n } = a _ { n - 1 } + 2 = b _ { \frac { n - 1 } { 2 } } + 2 =$ $\frac { 3 ( n - 1 ) } { 2 } + 1 = \frac { 3 n - 1 } { 2 }$，所以$a _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } \frac { 3 n - 2 } { 2 } , n为偶数， \\ \frac { 3 n - 1 } { 2 } , n为奇数. \end{array} \right.$
(2)由
(1)知，数列$\{ a _ { n } \}$的奇数项、偶数项均是以$3$为公差的等差 数列，且$a _ { 2 0 } = b _ { 1 0 } = 2 9$，所以$a _ { 2 } + a _ { 4 } + ·s + a _ { 2 0 } =$ $\frac { 1 0 × ( 2 + 2 9 ) } { 2 }$.故$a _ { 1 } + a _ { 3 } + a _ { 5 } + ·s + a _ { 1 9 } = a _ { 2 } - 1 + a _ { 4 } - 1 + ·s + a _ { 2 0 } - 1 =$ $1 5 5 - 1 0 = 1 4 5$，故$\{ a _ { n } \}$的前$20$项和$S _ { 2 0 } = 1 5 5 + 1 4 5 = 3 0 0$.
(3)当$n$为偶数时，$S _ { n } = ( a _ { 1 } + a _ { 3 } + ·s + a _ { n - 1 } ) + ( a _ { 2 } + a _ { 4 } + ·s +$ $a _ { n } ) = \frac { \frac { n } { 2 } \left( 1 + \frac { 3 n - 4 } { 2 } \right) } { 2 } + \frac { \frac { n } { 2 } \left( 2 + \frac { 3 n - 2 } { 2 } \right) } { 2 } = \frac { 3 } { 4 } n ^ { 2 }$；当$n$为奇数时， $S _ { n } = ( a _ { 1 } + a _ { 3 } + ·s + a _ { n } ) + ( a _ { 2 } + a _ { 4 } + ·s + a _ { n - 1 } ) =$ $\frac { n + 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { 3 n - 1 } { 2 } \right) + \frac { n - 1 } { 2 } \left( 2 + \frac { 3 n - 5 } { 2 } \right) = \frac { 3 n ^ { 2 } + 1 } { 4 }$. 综上， $S _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } \frac { 3 } { 4 } n ^ { 2 } , n为偶数， \\ \frac { 3 n ^ { 2 } + 1 } { 4 } , n为奇数. \end{array} \right.$

变式 1 （2025·抚顺二模）已知$\{ a_{n}\}$是公差不为零的等差数列，$b_{n}=\begin{cases}a_{n},n 为奇数,\\2b_{n - 1},n 为偶数,\end{cases}$记$S_{n},T_{n}$分别为数列$\{ a_{n}\},\{ b_{n}\}$的前$n$项和，$S_{3}=T_{3},a_{3}a_{5}=S_{5}$。
（1）求$\{ a_{n}\}$的通项公式；
（2）求$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$。（1）$a _ { n } = n$（2）$T _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } \frac { 3 n ^ { 2 } - 2 n + 3 } { 4 } , n为奇数， \\ \frac { 3 n ^ { 2 } } { 4 } , n为偶数. \end{array} \right.$

答案： 变式1 【解答】
(1)设数列$\{ a _ { n } \}$的公差为$d ( d \neq 0 )$，由 $\left\{ \begin{array} { l } S _ { 3 } = T _ { 3 } , \\ a _ { 3 } a _ { 5 } = S _ { 5 } , \end{array} \right.$得$\left\{ \begin{array} { l} a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } = a _ { 1 } + 2 a _ { 1 } + a _ { 3 } , \\ ( a _ { 1 } + 2 d ) ( a _ { 1 } + 4 d ) = 5 a _ { 1 } + 1 0 d , \end{array} \right.$即$\left\{ \begin{array} { l} d \neq 0 , \\ ( a _ { 1 } + 2 d ) ( a _ { 1 } + 4 d ) = 5 a _ { 1 } + 1 0 d , \end{array} \right.$解得$\left\{ \begin{array} { l} a _ { 1 } = 1 , \\ d = 1 , \end{array} \right.$所以$a _ { n } = a _ { 1 } +$ $( n - 1 ) d = n$.
(2)由$b _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } a _ { n } , n为奇数， \\ 2 b _ { n - 1 } , n为偶数 \end{array} \right.$可知，当$n$为偶数时，$T _ { n } = ( b _ { 1 } +$ $b _ { 3 } + ·s + b _ { n - 1 } ) + ( b _ { 2 } + b _ { 4 } + ·s + b _ { n } ) = ( a _ { 1 } + a _ { 3 } + ·s + a _ { n - 1 } ) +$ $2 ( b _ { 1 } + b _ { 3 } + ·s + b _ { n - 1 } ) = 3 ( a _ { 1 } + a _ { 3 } + ·s + a _ { n - 1 } ) =$ $3 ( 1 + n - 1 ) · \frac { \frac { n } { 2 } } { 2 } = \frac { 3 n ^ { 2 } } { 4 }$；当$n$为奇数时，$T _ { n } = T _ { n + 1 } - b _ { n + 1 } =$ $\frac { 3 } { 4 } ( n + 1 ) ^ { 2 } - 2 b _ { n } = \frac { 3 } { 4 } ( n + 1 ) ^ { 2 } - 2 n = \frac { 3 n ^ { 2 } - 2 n + 3 } { 4 }$.综上所述， $T _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } \frac { 3 n ^ { 2 } - 2 n + 3 } { 4 } , n为奇数， \\ \frac { 3 n ^ { 2 } } { 4 } , n为偶数. \end{array} \right.$