《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

变式 $2$ （2025·广州二模）如图，直四棱柱 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 的底面 $ABCD$ 是菱形，$\angle BAD$ 为锐角，$E$，$F$ 分别为棱 $A_1D_1$，$CD$ 的中点，点 $M$ 在棱 $C_1D_1$ 上，且 $C_1M = 3MD_1$，$AA_1 = AB = 4$，点 $P$ 在直线 $EM$ 上。
（1）证明：$EM //$ 平面 $AB_1F$；
（2）若直四棱柱 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 的体积为 $32\sqrt{3}$，当直线 $FP$ 与平面 $AB_1F$ 所成角的正弦值最大时，求 $MP$ 的长。

答案：
变式2【解答】
(1)如图，取$C_{1}D_{1}$的中点$N$，连接$A_{1}N$，$NF$。因为$F$为$CD$的中点，所以$NF// CC_{1}$，且$NF = CC_{1}$。又$AA_{1}// CC_{1}$，且$AA_{1}=CC_{1}$，则$NF// AA_{1}$，且$NF = AA_{1}$，所以四边形$AFNA_{1}$是平行四边形，所以$AF// A_{1}N$。因为$C_{1}M = 3MD_{1}$，所以$M$为$ND_{1}$的中点。又$E$为$A_{1}D_{1}$的中点，所以$EM// A_{1}N$，所以$EM// AF$。因为$AF\subset$平面$AB_{1}F$，$EM\not\subset$平面$AB_{1}F$，所以$EM//$平面$AB_{1}F$。
(2)由直四棱柱$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的体积为$32\sqrt{3}$，得$AA_{1}· AB· AD\sin\angle BAD = 32\sqrt{3}$，得$\sin\angle BAD=\frac{\sqrt{3}}{2}$。由$\angle BAD$为锐角，知$\angle BAD=\frac{\pi}{3}$。如图，分别以直线$DC$，$DD_{1}$为$y$轴、$z$轴，以$\triangle ABD$的$AB$边上的高线为$x$轴，建立空间直角坐标系，则$E(\sqrt{3},-1,4)$，$M(0,1,4)$，$F(0,2,0)$，$B_{1}(2\sqrt{3},2,4)$，$A(2\sqrt{3},-2,0)$。设$\overrightarrow{MP}=\lambda\overrightarrow{ME}=(\sqrt{3}\lambda,-2\lambda,0)$，则$P(\sqrt{3}\lambda,1 - 2\lambda,4)$，$\overrightarrow{FP}=(\sqrt{3}\lambda,-2\lambda - 1,4)$，$\overrightarrow{AB_{1}}=(0,4,4)$，$\overrightarrow{AF}=(-2\sqrt{3},4,0)$。设平面$AB_{1}F$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，直线$FP$与平面$AB_{1}F$所成的角为$\theta$，则$\begin{cases}\boldsymbol{n}·\overrightarrow{AF}=0\\\boldsymbol{n}·\overrightarrow{AB_{1}}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-2\sqrt{3}x + 4y = 0\\4y + 4z = 0\end{cases}$，取$y=\sqrt{3}$，则$x = 2$，$z=-\sqrt{3}$，得平面$AB_{1}F$的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(2,\sqrt{3},-\sqrt{3})$，则$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{FP},\boldsymbol{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{FP}·\boldsymbol{n}|}{|\overrightarrow{FP}|·|\boldsymbol{n}|}=\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{10}·\sqrt{3\lambda^{2}+(2\lambda + 1)^{2}+16}}=\frac{\sqrt{30}}{2\sqrt{7\lambda^{2}+4\lambda + 17}}$，当$\lambda=-\frac{2}{7}$时，$\sin\theta$取得最大值，此时$|\overrightarrow{MP}|=|\lambda|·|\overrightarrow{ME}|=\frac{2}{7}×\sqrt{3 + 9 + 16}=\frac{2\sqrt{28}}{7}=\frac{2\sqrt{7}}{7}$。
故所求$MP$的长为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$。