《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. 已知$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，$\triangle ABC$的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，且$b = 1$，$C = \frac{\pi}{3}$，则$AB$边上的中线长为(D)

A.$7$
B.$3$
C.$\sqrt{7}$
D.$\frac{\sqrt{13}}{2}$

答案： 1.D　[解析]$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{1}{2}a×1×\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}a=\frac{3\sqrt{3}}{4}$,解得$a = 3$.设AB的中点为D,则$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})$,则$\overrightarrow{CD}^2=\frac{1}{4}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})^2=\frac{1}{4}(\overrightarrow{CA}^2+\overrightarrow{CB}^2 + 2\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB})=\frac{1}{4}×(1 + 9 + 2×1×3×\frac{1}{2})=\frac{13}{4}$,则$|\overrightarrow{CD}|=\frac{\sqrt{13}}{2}$,故AB边上的中线长为$\frac{\sqrt{13}}{2}$.

2. 已知$\triangle ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，$a = 1$，且$\sqrt{3}\cos C = c\sin A$。若$b = 3$，$D$是$AB$上的点，$CD$平分$\angle ACB$，则$\triangle ACD$的面积为(B)

A.$\frac{9\sqrt{3}}{32}$
B.$\frac{9\sqrt{3}}{16}$
C.$\frac{9\sqrt{3}}{4}$
D.$\frac{9\sqrt{3}}{2}$

答案： 2.B　[解析]由正弦定理可知$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$,即$a\sin C = c\sin A$,故$\sqrt{3}\cos C = c\sin A = a\sin C=\sin C$,故$\tan C=\sqrt{3}$,而$C\in(0,\pi)$,故$C=\frac{\pi}{3}$.因为D是AB上的点,CD平分$\angle ACB$,则由角平分线定理可知$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{a}=3$,故$AD=\frac{3}{4}AB$,即$S_{\triangle ACD}=\frac{3}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}ab\sin C=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×1×3×\sin\frac{\pi}{3}=\frac{9\sqrt{3}}{16}$.

3. (2025·安阳二模)在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，若$\angle BAC$的平分线$AE$交$BC$于点$E$，且$AE = \frac{2}{3}$，$c = 1$，$b = 2$，则$a =$$\sqrt{7}$。

答案： 3.$\sqrt{7}$　[解析]由等面积法,可得$\frac{1}{2}bc\sin\angle BAC=\frac{1}{2}b· AE·\sin\frac{\angle BAC}{2}+\frac{1}{2}c· AE·\sin\frac{\angle BAC}{2}$,即$\frac{1}{2}×2×1×\sin\angle BAC=\frac{1}{2}×2×\frac{2}{3}×\sin\frac{\angle BAC}{2}+\frac{1}{2}×1×\frac{2}{3}×\sin\frac{\angle BAC}{2}$,化简得$\sin\angle BAC=\frac{2}{3}\sin\frac{\angle BAC}{2}$,又$0＜\angle BAC＜\pi$,所以$\angle BAC=\frac{2\pi}{3}$.由余弦定理可得$a^2=b^2 + c^2-2bc\cos\angle BAC=2^2 + 1^2-2×2×1×(-\frac{1}{2})=7$,所以$a=\sqrt{7}$.

4. 在$\triangle ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别是$a$，$b$，$c$，已知$(a + c)(a - c) = b(b + c)$，则角$A$的大小为$\frac{2\pi}{3}$；若$b = 3$，$c = 4$，$AD$是$\triangle ABC$的高，则线段$AD$的长为$\frac{6\sqrt{111}}{37}$。

答案： 4.$\frac{2\pi}{3}$　$\frac{6\sqrt{111}}{37}$　[解析]由$(a + c)(a - c)=b(b + c)$,可得$b^2 + c^2 - a^2=-bc$,由余弦定理可得$\cos A=\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}=-\frac{1}{2}$.因为$0＜A＜\pi$,所以$A=\frac{2\pi}{3}$.由余弦定理得$a^2=b^2 + c^2-2bc\cos A=9 + 16 + 12 = 37$,所以$a=\sqrt{37}$.根据等面积法得$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}a· AD$,则$AD=\frac{bc\sin A}{a}=\frac{12×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{37}}=\frac{6\sqrt{111}}{37}$.