《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例3 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.现有两种赛制，一种是“单败淘汰制”，具体赛制：抽签决定两两对阵人员，胜者晋级“胜者区”，并进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名；败者进入“败者区”，并进行比赛，决定第三、四名的归属.另一种是“双败淘汰制”，具体赛制：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名.已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为$p(0 ＜ p ＜ 1)$，且不同对阵的结果相互独立.
(1) 若$p = 0.6$，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁，求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望.
(2) 依据$p$的取值情况，判断哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.3.128当$\frac{1}{2}$＜$p$＜1时，双败淘汰制有利；当0＜$p$＜$\frac{1}{2}$时，单败淘汰制有利；当$p$=$\frac{1}{2}$时，两种赛制概率一样

答案： 例3【解答】
(1)记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数为随机变量X，则X的所有可能取值为2,3,4.X=2：甲连负两局得第四名，$P(X=2)=(1-0.6)^2=0.16.X=3$：甲连胜两局进决赛，或负胜负得第三名，或胜负负得第三名，$P(X=3)=0.6^2+(1-0.6)×0.6×(1-0.6)+0.6×(1-0.6)×(1-0.6)=0.552.X=4$：甲以前三局依次为胜负胜或负胜胜的赛果进入决赛，P(X=4)=0.6×(1-0.6)×0.6+(1-0.6)×0.6×0.6=0.288.故X的分布列为
X234
P0.160.5520.288
所以E(X)=2×0.16+3×0.552+4×0.288=3.128.
(2)在“双败淘汰制”下甲夺冠的概率$P_1=p^3+p(1-p)p^2+(1-p)p^3=(3-2p)p^3；$在“单败淘汰制”下甲夺冠的概率$P_2=p^2·P_1-P_2=p^2(3p-2p^2-1)=p^2(2p-1)(1-p)，$0＜p＜1，则当\frac{1}{2}＜p＜1时，P_1＞$P_2，$“双败淘汰制”对甲夺冠有利；当0＜p＜\frac{1}{2}时，$P_1＜P_2，$“单败淘汰制”对甲夺冠有利；当$p=\frac{1}{2}$时，$P_1=P_2，$两种赛制下甲夺冠的概率一样.