《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. 已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为$\sqrt{3}$，则该球的表面积为(D)

A.$3\pi$
B.$4\sqrt{3}\pi$
C.$6\pi$
D.$9\pi$

答案： 1.D　[解析]该球为正方体外接球，其半径$R$与正方体棱长$a$ 之间的关系为$2R = \sqrt{3}a$，由$a = \sqrt{3}$，可得$R = \frac{3}{2}$，所以该球的表面积$S = 4\pi R^{2}=9\pi$。

2. 若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球的体积之比为(C)

A.$3\sqrt{3}:1$
B.$5:1$
C.$5\sqrt{5}:1$
D.$6:1$

答案： 2.C　[解析]设正三棱柱底面正三角形的边长为$a$。正三棱柱的内切球半径等于底面正三角形的内切圆半径，则内切球的半径$r_{内}=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，正三棱柱的高$h = 2r_{内}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$。设底面正三角形的外接圆半径为$R$，易得$R = \frac{\sqrt{3}}{3}a$，所以外接球的半径$r_{外}=\sqrt{(\frac{h}{2})^{2}+R^{2}}=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{6}a)^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{3}a)^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{6}a$。所以它的外接球与内切球的体积之比为$(\frac{\sqrt{15}}{6}a)^{3}:(\frac{\sqrt{3}}{6}a)^{3}=5\sqrt{5}:1$。

3. (2025·岳阳质检)将一个底面半径为2，高为$2\sqrt{3}$的圆锥形石材打磨成一个球，则该球表面积的最大值为(A)

A.$\frac{16\pi}{3}$
B.$\frac{32\pi}{3}$
C.$\frac{32\sqrt{3}\pi}{27}$
D.$\frac{8\sqrt{3}\pi}{27}$

答案： 3.A　[解析]由题意可得圆锥的母线长为$\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+2^{2}} = 4$，所以圆锥的轴截面是等边三角形。将圆锥形石材打磨成一个球，要使球的表面积最大，则球的半径要最大，此时球是圆锥的内切球。设该等边三角形的内切圆的半径为$r$。由等边三角形的性质可得$\tan30^{\circ}=\frac{r}{2}$，所以$r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以该球的表面积为$4\pi r^{2}=4\pi(\frac{2\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{16\pi}{3}$。

4. (2025·莆田四模)已知某圆台下底面半径为2，高与上底面半径均为1，则该圆台外接球的表面积是(C)

A.$12\pi$
B.$16\pi$
C.$20\pi$
D.$24\pi$

答案：
4.C　[解析]设$O$为该圆台外接球的球心，$O_{1},O_{2}$分别为上、下底面圆的圆心，$R$为外接球半径，由题意分析可得球心在线段$O_{1}O_{2}$的延长线上，如图，则$R^{2}=1+(1 + OO_{2})^{2}=2^{2}+OO_{2}^{2}$，解得$OO_{2}=1$，$R^{2}=5$，所以该圆台外接球的表面积为$S = 4\pi R^{2}=20\pi$。
　　　

5. (2025·南京期初)若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为(C)

A.24
B.32
C.96
D.128

答案：
5.C　[解析]如图，在正四棱锥$P - ABCD$中，连接$AC,BD$交于点$E$，连接$PE$，则$PE = 8$。设$O$为该正四棱锥外接球的球心，易知$O$在$PE$上，连接$OC$，则$PO = OC = 5$，$OE = 3$，所以$CE=\sqrt{OC^{2}-OE^{2}} = 4$，则$AC = 8$，$CD = 4\sqrt{2}$，$PC=\sqrt{PE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{64 + 16}=4\sqrt{5}$。过点$P$作$PF\perp CD$，垂足为$F$，则在$Rt\triangle PFC$中，$PF=\sqrt{PC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{PC^{2}-(\frac{1}{2}CD)^{2}}=6\sqrt{2}$，故该四棱锥的侧面积$S_{侧}=4S_{\triangle PCD}=4×\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×6\sqrt{2}=96$。