《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

(2)已知函数$f(x)$的部分图象如图所示，则$f(x)$的解析式可能是(D)


A.$f(x) = \sin(\tan x)$
B.$f(x) = \tan(\sin x)$
C.$f(x) = \cos(\tan x)$
D.$f(x) = \tan(\cos x)$

答案：
(2)D[解析]当$x = 0$时，$f(0)\neq0$，对于A，$f(0)=\sin(\tan 0)=0$，故A不正确；对于B，$f(0)=\tan(\sin 0)=0$，故B不正确；对于C，$f(0)=\cos(\tan 0)=1$，$f(-x)=\cos[\tan(-x)]=\cos(\tan x)=f(x)$，函数$f(x)$是偶函数，定义域为$\left\{x\mid x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}\right\}$，故C不正确；对于D，$f(0)=\tan(\cos 0)=\tan 1$，且$f(-x)=\tan[\cos(-x)]=\tan(\cos x)=f(x)$，函数$f(x)$是偶函数，且定义域为$\mathbf{R}$，故D正确。

变式 3 (2025·邯郸一模)(多选)已知函数$f(x) = \cos 2x - a(2\cos x - 1) - \cos x + 1$，则下列结论正确的是(ACD)

A.$f(x)$的图象关于直线$x = \pi$对称
B.若$f(x)$在$[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$上恰有三个零点，则$a$的取值范围是$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
C.当$a = \frac{1}{2}$时，$f(x)$在$[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$上单调递增
D.若$f(x)$在$[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]$上的最小值为$M$，则$M \leq 0$

答案： 变式3ACD[解析]由题意知$f(x)=\cos 2x - a(2\cos x - 1)-\cos x + 1=2\cos^2x-(2a + 1)\cos x + a=(\cos x - a)·(2\cos x - 1)$。对于A，$f(2\pi - x)=[\cos(2\pi - x)-a][2\cos(2\pi - x)-1]=(\cos x - a)(2\cos x - 1)=f(x)$，即$f(x)$的图象关于直线$x = \pi$对称，故A正确。对于B，由$f(x)=(\cos x - a)(2\cos x - 1)=0$，得$\cos x = a$或$\cos x=\frac{1}{2}$，由于$\cos x=\frac{1}{2}$在$\left[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$上有两解，即$-\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{3}$，结合$f(x)$在$\left[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$上恰有三个零点，可知需$\cos x = a$在$\left[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$上只有一解，由于$y = \cos x$在$\left[-\frac{\pi}{3},0\right]$上单调递增，在$\left[0,\frac{2\pi}{3}\right]$上单调递减，且$\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$，$\cos 0 = 1$，故要使$\cos x = a$在$\left[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$上只有一解，需$-\frac{1}{2}\leq a＜\frac{1}{2}$或$a = 1$，故B错误。对于C，当$a=\frac{1}{2}$时，$f(x)=2\cos^2x - 2\cos x+\frac{1}{2}$，令$t = \cos x$，$x\in\left[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$，则$t\in\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$，$t = \cos x$在$\left[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$上单调递减，而函数$y = 2t^2 - 2t+\frac{1}{2}$的图象的对称轴为$t=\frac{1}{2}$，该函数在$\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$上单调递减，故$f(x)=2\cos^2x - 2\cos x+\frac{1}{2}$在$\left[\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$上单调递增，故C正确。对于D，令$t = \cos x$，$x\in\left[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$，则$t\in\left[-\frac{1}{2},1\right]$，$f(x)=\cos 2x - a(2\cos x - 1)-\cos x + 1$可化为$y = 2t^2-(2a + 1)t + a$，该函数图象的对称轴为$t=\frac{2a + 1}{4}$，当$t=\frac{2a + 1}{4}\geq1$，即$a\geq\frac{3}{2}$时，$y_{\min}=2-(2a + 1)+a=1 - a\leq1-\frac{3}{2}＜0$；当$-\frac{1}{2}＜\frac{2a + 1}{4}＜1$，即$-\frac{3}{2}＜a＜\frac{3}{2}$时，$y_{\min}=\frac{8a-(2a + 1)^2}{8}=\frac{-(2a - 1)^2}{8}\leq0$；当$t=\frac{2a + 1}{4}\leq-\frac{1}{2}$，即$a\leq-\frac{3}{2}$时，$y_{\min}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(2a + 1)+a=1 + 2a\leq-2＜0$。综上，$f(x)$在$\left[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}\right]$上的最小值为$M$，则$M\leq0$，故D正确。