《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例4 (2025·安庆三模)已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为$\frac{2}{3}$，乙获胜的概率为$\frac{1}{3}$，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜$m$局指的是一方比另一方多胜$m$局.
(1) 如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率.$\frac{20}{81}$
(2) 如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜$i(i = - 3,- 2,- 1,0,1,2,3)$局.设甲在净胜$i$局时，继续比赛甲获胜的概率为$P_{i}$，比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为$X_{i}$，期望为$E(X_{i})$.
①求甲获胜的概率$P_{0}$；$\frac{8}{9}$
②求$E(X_{0})$.7

答案： 例4【解答】
(1)若4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲、乙各胜一局，并且第3,4局甲胜，概率为$C_2^1$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{16}{81}$，若4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲、乙各胜一局，并且第3,4局乙胜，概率为$C_2^1$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×($\frac{1}{3}$)$^2$=$\frac{4}{81}$，所以恰好4局结束比赛的概率为$\frac{16}{81}$+$\frac{4}{81}$=$\frac{20}{81}$.
(2)①在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为$P_{-1}$；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，根据全概率公式，$P_{-2}$=$\frac{2}{3}P_{-1}$，同理$P_{-1}$=$\frac{2}{3}P_0$+$\frac{1}{3}P_{-2}$，$P_0$=$\frac{2}{3}P_1$+$\frac{1}{3}P_0$，$P_2$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}P_1$，由$P_1$=$\frac{2}{3}P_2$+$\frac{1}{3}P_0$，$P_2$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}P_1$，得$P_1$=$\frac{4}{7}$+$\frac{3}{7}P_0$，与$P_0$=$\frac{2}{3}P_1$+$\frac{1}{3}P_{-1}$联立消去$P_1$，得$\frac{5}{7}P_0$=$\frac{8}{21}$+$\frac{1}{3}P_{-1}$，又$P_{-2}$=$\frac{2}{3}P_{-1}$，$P_{-1}$=$\frac{2}{3}P_0$+$\frac{1}{3}P_{-2}$，得$P_{-1}$=$\frac{6}{7}P_0$，与$\frac{5}{7}P_0$=$\frac{8}{21}$+$\frac{1}{3}P_{-1}$联立消去$P_{-1}$，得$P_0$=$\frac{8}{9}$，所以甲获胜的概率为$\frac{8}{9}$.
②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局：若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要$X_{-1}$局，共进行了$X_{-1}$+1局；若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局，则$E(X_{-2})$=$\frac{2}{3}$[$E(X_{-1})$+1]+$\frac{1}{3}$×1，即$E(X_{-2})$=$\frac{2}{3}E(X_{-1})$+1，同理$E(X_{-1})$=$\frac{2}{3}$[$E(X_0)$+1]+$\frac{1}{3}$[$E(X_{-2})$+1]，即$E(X_{-1})$=$\frac{2}{3}E(X_0)$+$\frac{1}{3}E(X_{-2})$+1，即$E(X_0)$=$\frac{2}{3}$[$E(X_1)$+1]+$\frac{1}{3}$[$E(X_{-1})$+1]，即$E(X_1)$=$\frac{2}{3}$[$E(X_2)$+1]+$\frac{1}{3}$[$E(X_0)$+1]，即$E(X_1)$=$\frac{2}{3}E(X_2)$+$\frac{1}{3}E(X_0)$+1，$E(X_2)$=$\frac{2}{3}$×1+$\frac{1}{3}$[$E(X_1)$+1]，即$E(X_2)$=$\frac{1}{3}E(X_1)$+1.联立$E(X_1)$=$\frac{2}{3}E(X_2)$+$\frac{1}{3}E(X_0)$+1与$E(X_2)$=$\frac{1}{3}E(X_1)$+1，得$E(X_1)$=$\frac{3}{7}E(X_0)$+$\frac{15}{7}$，联立$E(X_{-1})$=$\frac{2}{3}E(X_0)$+$\frac{1}{3}E(X_{-2})$+1与$E(X_{-2})$=$\frac{2}{3}E(X_{-1})$+1，得$E(X_{-1})$=$\frac{6}{7}E(X_0)$+$\frac{12}{7}$，代入$E(X_0)$=$\frac{2}{3}E(X_1)$+$\frac{1}{3}E(X_{-1})$+1，得$E(X_0)$=$\frac{2}{3}$[$\frac{3}{7}E(X_0)$+$\frac{15}{7}$]+$\frac{1}{3}$[$\frac{6}{7}E(X_0)$+$\frac{12}{7}$]+1，所以$E(X_0)$=7.