《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例1（2025·泰州一模）某校随机调查了100名同学的每日运动时间（单位：min），得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求该100名同学的平均日运动时间；
（2）为进一步调查同学们的运动方式，采用分层随机抽样的方法从每日运动时间在$[50,60)$，$[60,70)$，$[80,90)$内的同学中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每日运动时间在$[60,70)$内的调查人数$X$的分布列和数学期望.

答案： 例1【解答】
(1)由题意得$( 0 . 0 1 0 + 0 . 0 2 0 + a + 0 . 0 2 0 + 0 . 0 0 5 ) × 1 0 = 1$，解得$a = 0 . 0 4 5$，所以这100名同学的平均每日运动时间为$0 . 1 × 5 5 + 0 . 2 × 6 5 + 0 . 4 5 × 7 5 + 0 . 2 × 8 5 + 0 . 0 5 × 9 5 = 7 4 ( m i n )$.
(2)抽取日运动时间在$[ 5 0 , 6 0 )$，$[ 6 0 , 7 0 )$，$[ 8 0 , 9 0 )$内的同学人数分别为2,4,4，所以X的可能取值为0,1,2,3，$P ( X = 0 ) = \frac { C _ { 6 } ^ { 3 } } { C _ { 1 0 } ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 6 }$，$P ( X = 1 ) = \frac { C _ { 4 } ^ { 1 } C _ { 6 } ^ { 2 } } { C _ { 1 0 } ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 2 }$，$P ( X = 2 ) = \frac { C _ { 4 } ^ { 2 } C _ { 6 } ^ { 1 } } { C _ { 1 0 } ^ { 3 } } = \frac { 3 } { 1 0 }$，$P ( X = 3 ) = \frac { C _ { 4 } ^ { 3 } } { C _ { 1 0 } ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 3 0 }$，所以X的分布列为
$X$ 0 1 2 3
$P$ $\frac { 1 } { 6 }$ $\frac { 1 } { 2 }$ $\frac { 3 } { 1 0 }$ $\frac { 1 } { 3 0 }$
故$E ( X ) = 0 × \frac { 1 } { 6 } + 1 × \frac { 1 } { 2 } + 2 × \frac { 3 } { 1 0 } + 3 × \frac { 1 } { 3 0 } = \frac { 6 } { 5 }$.

例2（2025·南昌二模）某校组织古诗词知识比赛.比赛分为两阶段，第一阶段为基础知识问答，每位选手都需要回答3个问题，答对其中至少2个问题，进入第二阶段，否则被淘汰；第二阶段分高分组和低分组，第一阶段3个问题都答对的选手进入高分组，共回答4个问题，每答对一个得20分，答错不得分；第一阶段答对2个问题的选手进入低分组，共回答4个问题，每答对一个得10分，答错不得分.第一阶段，每个问题选手甲答对的概率都是$\frac{2}{3}$；第二阶段，若选手甲进入高分组，每个问题答对的概率都是$\frac{1}{4}$，若选手甲进入低分组，每个问题答对的概率都是$\frac{1}{2}$.
（1）求选手甲第一阶段不被淘汰的概率；$\frac{20}{27}$
（2）求选手甲在该次比赛得分为40分的概率；
（3）已知该次比赛选手甲进入了高分组，记选手甲在该次比赛中得分为$X$，求随机变量$X$的分布列和数学期望.X的可能取值为0,20,40,60,80$P(X=0)=\frac{81}{256}$，$P(X=20)=\frac{27}{64}$，$P(X=40)=\frac{27}{128}$，$P(X=60)=\frac{3}{64}$，$P(X=80)=\frac{1}{256}$

答案： 例2【解答】
(1)选手甲第一阶段不被淘汰，即甲回答3个问题答对其中2个或3个，其概率为$p _ { 1 } = C _ { 3 } ^ { 2 } × ( \frac { 2 } { 3 } ) ^ { 2 } × \frac { 1 } { 3 } + ( \frac { 2 } { 3 } ) ^ { 3 } = \frac { 2 0 } { 2 7 }$.
(2)选手甲在该次比赛得分为40分有两种情况：进入高分组，答对2个问题；进入低分组，答对4个问题，故概率为$p _ { 2 } = ( \frac { 2 } { 3 } ) ^ { 3 } × C _ { 4 } ^ { 2 } × ( \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } × ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { 2 } + C _ { 3 } ^ { 2 } × ( \frac { 2 } { 3 } ) ^ { 2 } × \frac { 1 } { 3 } × ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 4 } = \frac { 1 3 } { 1 4 4 }$.
(3)X的可能取值为0,20,40,60,80，$P ( X = 0 ) = C _ { 4 } ^ { 0 } × ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { 4 } = \frac { 8 1 } { 2 5 6 }$，$P ( X = 2 0 ) = C _ { 4 } ^ { 1 } × ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { 3 } × \frac { 1 } { 4 } = \frac { 2 7 } { 6 4 }$，$P ( X = 4 0 ) = C _ { 4 } ^ { 2 } × ( \frac { 3 } { 4 } ) ^ { 2 } × ( \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } = \frac { 2 7 } { 1 2 8 }$，$P ( X = 6 0 ) = C _ { 4 } ^ { 3 } × \frac { 3 } { 4 } × ( \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 3 } = \frac { 3 } { 6 4 }$，$P ( X = 8 0 ) = C _ { 4 } ^ { 4 } × ( \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 4 } = \frac { 1 } { 2 5 6 }$，所以随机变量X的分布列为
$X$ 0 20 40 60 80
$P$ $\frac { 8 1 } { 2 5 6 }$ $\frac { 2 7 } { 6 4 }$ $\frac { 2 7 } { 1 2 8 }$ $\frac { 3 } { 6 4 }$ $\frac { 1 } { 2 5 6 }$
所以$E ( X ) = 0 × \frac { 8 1 } { 2 5 6 } + 2 0 × \frac { 2 7 } { 6 4 } + 4 0 × \frac { 2 7 } { 1 2 8 } + 6 0 × \frac { 3 } { 6 4 } + 8 0 × \frac { 1 } { 2 5 6 } = 2 0$.