《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

变式2 一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第$n$站的概率为$P_{n}$，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次. 若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（获胜）或第100站（失败）时，游戏结束（骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6）.
（1）求$P_{0}$，$P_{1}$，$P_{2}$，并根据棋子跳到第$n$站的情况，试用$P_{n - 2}$和$P_{n - 1}$表示$P_{n}$；
（2）求证：$\{P_{n}-P_{n - 1}\}(n = 1,2,·s,99)$为等比数列；
（3）求玩该游戏获胜的概率.（1）$P_0=1$，$P_1=\frac{1}{2}$，$P_2=\frac{3}{4}$，$P_n=\frac{1}{2}P_{n-2}+\frac{1}{2}P_{n-1}(n=2,3,·s,99)$；（2）证明见解析；（3）$\frac{2}{3}(1-\frac{1}{2^{100}})$

答案： 变式2【解答】
(1)棋子开始在第0站是必然事件,所以$P_0=1$.
棋子跳到第1站,只有一种情形,第一次掷骰子出现奇数点,其概率为$\frac{1}{2}$,所以$P_1=\frac{1}{2}$.棋子跳到第2站,包括两种情形:①第一次掷骰子出现偶数点,其概率为$\frac{1}{2}$,②前两次掷骰子出现奇数点,其概率为$\frac{1}{4}$,所以$P_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.棋子跳到第$n(2\leq n\leq99)$站,包括两种情形:①棋子先跳到第$n-2$站,又掷骰子出现偶数点,其概率为$\frac{1}{2}P_{n-2}$;②棋子先跳到第$n-1$站,又掷骰子出现奇数点,其概率为$\frac{1}{2}P_{n-1}$,故$P_n=\frac{1}{2}P_{n-2}+\frac{1}{2}P_{n-1}(n=2,3,·s,99)$.棋子跳到第100站只有一种情形:棋子先跳到第98站,又掷骰子出现偶数点,所以$P_{100}=\frac{1}{2}P_{98}$.
(2)由
(1)知,$P_n=\frac{1}{2}P_{n-2}+\frac{1}{2}P_{n-1}$,所以$P_n-P_{n-1}=-\frac{1}{2}(P_{n-1}-P_{n-2})$.又因为$P_1-P_0=-\frac{1}{2}$,所以$\{P_n-P_{n-1}\}(n=1,2,·s,99)$是首项为$-\frac{1}{2}$,公比为$-\frac{1}{2}$的等比数列.
(3)由
(2)知,$P_n-P_{n-1}=-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})^{n-1}=(-\frac{1}{2})^n$,所以$P_{99}=(P_{99}-P_{98})+(P_{98}-P_{97})+·s+(P_1-P_0)+P_0=(-\frac{1}{2})^{99}+(-\frac{1}{2})^{98}+·s+(-\frac{1}{2})+1=(-\frac{1}{2})[1-(-\frac{1}{2})^{99}]1-(-\frac{1}{2})=\frac{2}{3}(1-\frac{1}{2^{100}})$,所以玩该游戏获胜的概率为$\frac{2}{3}(1-\frac{1}{2^{100}})$.

例3 （2025·丹东期末）某驾校的张教练带领甲、乙、丙三名学员进行科目三练习，由于教练车只有一辆，张教练在排队系统中设定：每次甲练习后，系统抽到甲继续练习的概率为$\frac{1}{2}$，抽到乙练习的概率为$\frac{1}{2}$；每次乙练习后，系统抽到甲练习的概率为$\frac{1}{3}$，抽到丙练习的概率为$\frac{2}{3}$；每次丙练习后，系统抽到甲练习的概率为$\frac{1}{2}$，抽到乙练习的概率为$\frac{1}{2}$. 某天练习结束，一共练习了$n(n\geq3,n\in\mathbf{N})$轮，已知练习从甲开始.
（1）当$n = 3$时，求甲一共参与练习次数$X$的分布列与数学期望；
（2）求第$n$轮为甲练习的概率.

答案： 例3【解答】
(1)根据题意得$X$的可能取值为1,2,3,则$P(X=1)=1×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$;$X=2$时,表示第1轮为甲,第2轮为甲,第3轮为乙,或第1轮为甲,第2轮为乙,第3轮为甲,即$P(X=2)=1×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+1×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{5}{12}$;$X=3$时,表示第1轮为甲,第2轮为甲,第3轮为甲,即$P(X=3)=1×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$,所以$X$的分布列为
$X$123
$P$$\frac{1}{3}$$\frac{5}{12}$$\frac{1}{4}$
所以$E(X)=1×\frac{1}{3}+2×\frac{5}{12}+3×\frac{1}{4}=\frac{23}{12}$.
(2)设第$n$轮练习为甲、乙、丙的概率分别为$P_n$,$Q_n$,$1-P_n-Q_n$,由题意得$P_n=\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{3}Q_{n-1}+\frac{1}{2}(1-P_{n-1}-Q_{n-1})=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}Q_{n-1}$①,$Q_n=\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{2}(1-P_{n-1}-Q_{n-1})=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}Q_{n-1}$②,由②得$Q_n-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}(Q_{n-1}-\frac{1}{3})$,所以数列$\{Q_n-\frac{1}{3}\}$是首项为$Q_1-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$,公比为$-\frac{1}{2}$的等比数列,$Q_n=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}×(-\frac{1}{2})^{n-2}$,则$Q_{n-1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}×(-\frac{1}{2})^{n-1}$,代入①中,得$P_n=\frac{4}{9}-\frac{1}{9}×(-\frac{1}{2})^{n-1}$,故第$n$轮为甲练习的概率为$P_n=\frac{4}{9}-\frac{1}{9}×(-\frac{1}{2})^{n-1}(n\geq3)$.