《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例3 如图，在底面$ABCD$为菱形的平行六面体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$M$，$N$分别在棱$AA_1$，$CC_1$上，且$A_1M = \frac{1}{3}AA_1$，$CN = \frac{1}{3}CC_1$，且$\angle A_1AD = \angle A_1AB = \angle DAB = 60^{\circ}$.
(1) 求证：$D$，$M$，$B_1$，$N$四点共面；
(2) 当$\frac{AA_1}{AB}$为何值时，$AC_1 \perp A_1B$.

答案： 例3　[解答]
(1)因为$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AD},\overrightarrow{NB_1}=\overrightarrow{CB_1}-\overrightarrow{CN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AA_1}-\overrightarrow{AD}$，所以$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{NB_1}$，所以$D,M,B_1,N$四点共面.
(2)当$\frac{AA_1}{AB}=1$时，$AC_1\perp A_1B$.设$\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$.因为底面$ABCD$为菱形，所以当$\frac{AA_1}{AB}=1$时，$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}|$.因为$\overrightarrow{AC_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC_1}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\overrightarrow{A_1B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}$，且$\angle A_1AD=\angle A_1AB=\angle DAB = 60^{\circ}$，所以$\overrightarrow{AC_1}·\overrightarrow{A_1B}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}^2-\boldsymbol{c}^2+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=0$，所以$AC_1\perp A_1B$.

变式3 (1) 已知四棱锥$P - ABCD$的底面$ABCD$为平行四边形，过点$B$的平面分别交侧棱$PC$，$PD$，$PA$于点$E$，$F$，$G$，若$PG = GA$，$PE = 2EC$，则$\frac{PF}{FD} =$(B)

A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{2}$

答案：
变式3
(1)B [解析]如图，设$\frac{PD}{PF}=m(m\geq1)$，则$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}-\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PG}+\frac{3}{2}\overrightarrow{PE}-m\overrightarrow{PF}$.又$B,E,F,G$四点共面，所以$2+\frac{3}{2}-m = 1$，解得$m=\frac{5}{2}$，所以$\overrightarrow{PD}=\frac{5}{2}\overrightarrow{PF},\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{PD}-\overrightarrow{PF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PF}$，得$\frac{PF}{FD}=\frac{2}{3}$.
　　　 　　

(2) (多选)如图，在平行六面体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$\angle DAB = \angle DAA_1 = \angle BAA_1 = 60^{\circ}$，$AB = AD = AA_1$，点$M$，$N$分别是棱$D_1C_1$，$C_1B_1$的中点，则下列说法中正确的有(AD)


A.$MN \perp AC_1$
B.向量$\overrightarrow{AN}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BB_1}$共面
C.$CA_1 \perp$平面$C_1BD$
D.若$AB = 1$，则该平行六面体的高为$\frac{\sqrt{6}}{3}$

答案：
变式3
(2)AD [解析]在平行六面体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，令$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{b},\overrightarrow{AA_1}=\boldsymbol{c}$，不妨令$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}| = 1$，依题意，$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}=\frac{1}{2},\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=\frac{1}{2},\boldsymbol{c}·\boldsymbol{a}=\frac{1}{2},\overrightarrow{AC_1}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$，因点$M,N$分别是棱$D_1C_1,C_1B_1$的中点，则$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DB_1}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}),\overrightarrow{MN}·\overrightarrow{AC_1}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}^2-\boldsymbol{b}^2+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c})=0$，故$MN\perp AC_1$，A正确；$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_1}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B_1C_1}=\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$，若向量$\overrightarrow{AN},\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BB_1}$共面，则存在唯一实数对$\lambda,\mu$使得$\overrightarrow{AN}=\lambda\overrightarrow{BC}+\mu\overrightarrow{BB_1}$，即$\boldsymbol{a}+\frac{1}{2}\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\lambda\boldsymbol{b}+\mu\boldsymbol{c}$，而$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$不共面，则有$1 = 0$，显然不成立，B不正确；因为$\overrightarrow{CA_1}=-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c},\overrightarrow{C_1B}=-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c},\overrightarrow{CA_1}·\overrightarrow{C_1B}=(-\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})·(-\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c}+\boldsymbol{b}^2-\boldsymbol{c}^2=1$，所以$CA_1$与$C_1B$不垂直，而$C_1B\subset$平面$C_1BD$，故$CA_1$不垂直平面$C_1BD$，C不正确；如图，连接$A_1B,A_1D$，依题意，$A_1B = A_1D = BD = AA_1 = AB = AD$，即四面体$A_1ABD$是正四面体，因此，平行六面体的高等于点$A_1$到平面$ABD$的距离，即正四面体$A_1ABD$的高$h$.由$\overrightarrow{A_1B}·\overrightarrow{AC_1}=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=\boldsymbol{a}^2-\boldsymbol{c}^2+\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}-\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}=0$知$AC_1\perp A_1B$，由选项A知$AC_1\perp BD$，而$A_1B\cap BD = B,A_1B,BD\subset$平面$A_1BD$，则$AC_1\perp$平面$A_1BD$，$AC_1$是平面$A_1BD$的一个法向量，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC_1}=\boldsymbol{a}·(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})=2$，$|\overrightarrow{AC_1}|=\sqrt{(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})^2}=\sqrt{\boldsymbol{a}^2+\boldsymbol{b}^2+\boldsymbol{c}^2+2\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c}+2\boldsymbol{c}·\boldsymbol{a}}=\sqrt{6}$，则$h=\frac{|\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC_1}|}{|\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，所以该平行六面体的高为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，D正确.