《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

变式1 (2025·枣庄期末)某班级30名同学计划利用寒假时间进行“北京中轴线——故宫探游”研学活动.游览规划:第一阶段,每位同学从午门出发,等可能选择①②两条路线游览,之后到乾清门集中进行阶段总结;第二阶段,从乾清门出发继续线路①或线路②游览,最终在御花园集合,活动结束.已知从乾清门出发时每位同学改变之前所选路线的概率均为$\frac{1}{3}$,且相互独立.
(1)求甲同学在第二阶段选择路线①的概率;$\frac{1}{2}$$\frac{4}{3}$
(2)记甲、乙、丙、丁4位同学中,在第一、二阶段都选路线①的人数为$X$,求$X$的数学期望、方差;$\frac{8}{9}$10
(3)记班级内在第一、二阶段都选择路线①的人数为$r$的概率为$f(r)$,则$r$为何值时,$f(r)$取最大值?

答案： 变式1【解答】
(1)设$A_{i}=$“甲同学在第一阶段选择路线①”，$i = 1,2$，$B=$“甲同学在第二阶段选择路线①”，则$P(A_{1}) = P(A_{2})=\frac{1}{2}$，$P(B|A_{1})=\frac{2}{3}$，$P(B|A_{2})=\frac{1}{3}$，所以$P(B)=\sum_{i = 1}^{2}P(A_{i})P(B|A_{i})=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$.
(2)记$C =$“某位同学第一、二两阶段都选择路线①”，则$P(C)=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，因为路线选择是相互独立的，所以$X$服从二项分布$B(4,\frac{1}{3})$，所以数学期望$E(X)=np = 4×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$，方差$D(X)=np(1 - p)=4×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}=\frac{8}{9}$.
(3)$r$的可能取值为$0,1,2,·s,30$，此时$r\sim B(30,\frac{1}{3})$，所以$f(r)=C_{30}^{r}·(\frac{1}{3})^{r}·(\frac{2}{3})^{30 - r}$，令$\begin{cases}C_{30}^{r}·(\frac{1}{3})^{r}·(\frac{2}{3})^{30 - r}\geq C_{30}^{r - 1}·(\frac{1}{3})^{r - 1}·(\frac{2}{3})^{31 - r}\\C_{30}^{r}·(\frac{1}{3})^{r}·(\frac{2}{3})^{30 - r}\geq C_{30}^{r + 1}·(\frac{1}{3})^{r + 1}·(\frac{2}{3})^{29 - r}\end{cases}$，故$\begin{cases}\frac{30!}{r!(30 - r)!}·(\frac{1}{3})^{r}·2^{30 - r}\geq\frac{30!}{(r - 1)!(31 - r)!}·(\frac{1}{3})^{r - 1}·2^{31 - r}\frac{30!}{r!(30 - r)!}·(\frac{1}{3})^{r}·2^{30 - r}\geq\frac{30!}{(r + 1)!(29 - r)!}·(\frac{1}{3})^{r + 1}·2^{29 - r}\end{cases}$，解得$\frac{28}{3}\leq r\leq\frac{31}{3}$，又$r\in N^{*}$，所以当$r = 10$时，$f(r)$取最大值.