《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1.(多选)已知两个变量$y$与$x$对应关系如下表：

若$y$与$x$满足一元线性回归模型，且经验回归方程为$\hat{y}=1.25x + 4.25$，则(AD)

A.$y$与$x$正相关
B.$m = 7$
C.样本数据$y$的第$60$百分位数为$8$
D.各组数据的残差和为$0$

答案： 1 AD 【解析】由经验回归方程知$1.25＞0$，所以$y$与$x$正相关，故A正确；由表格数据及经验回归方程易知$\overline{x}=3$，$\overline{y}=1.25 × 3 + 4.25 = \frac{32.5 + m}{5}$，解得$m = 7.5$，故B错误；易知$5 × 60\% = 3$，所以样本数据$y$的第$60$百分位数为$\frac{8 + 9}{2} = 8.5$，故C错误；由经验回归方程知$x = 1,2,3,4,5$时对应的预测值分别为$\hat{y} = 5.5,6.75$，$8,9.25,10.5$，对应残差分别为$-0.5,0.75,0,-0.25,0$，显然残差之和为$0$，故D正确.

2.(多选)某养老院有$110$名老人，经过一年的跟踪调查，过去的一年中他们是否患过某流行疾病和性别的相关数据如下表所示，则下列说法正确的有(ABC)


A.$\frac{a}{a + b}＞\frac{c}{c + d}$
B.$\chi^{2}＞6.635$
C.根据小概率值$\alpha = 0.01$的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联
D.根据小概率值$\alpha = 0.01$的独立性检验，没有充分的证据推断是否患过该流行疾病与性别有关联

答案： 2 ABC 【解析】根据列联表中的数据可求得$a = 20$，$b = 30$，$c =10$，$d = 50$.对于A，代入计算可得$\frac{a}{a + b} = \frac{2}{5} ＞ \frac{c}{c + d} = \frac{1}{6}$，故A正确；对于B，经计算可得$\chi^{2} = \frac{110 × (20 × 50 - 30 × 10)^{2}}{30 × 80 × 50 × 60} \approx 7.486 ＞6.635$，故B正确；对于C，D，结合附表数值以及独立性检验的实际意义，根据小概率值$\alpha = 0.01$的独立性检验，认为是否患过该流行疾病与性别有关联，故C正确，D错误.