《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. (2025·全国Ⅰ卷)若双曲线 $ C $ 的虚轴长为实轴长的 $ \sqrt{7} $ 倍，则 $ C $ 的离心率为(D)

A.$ \sqrt{2} $
B.$ 2 $
C.$ \sqrt{7} $
D.$ 2\sqrt{2} $

答案： 1.D【解析】设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为$2a$，$2b$，$2c$.由题知$b = \sqrt{7}a$，于是$c^{2}=a^{2}+b^{2}=a^{2}+7a^{2}=8a^{2}$，则$c = 2\sqrt{2}a$，所以离心率$e = \frac{c}{a}=2\sqrt{2}$.

2. (2025·宿迁二调)已知椭圆 $ C:\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1(a ＞ 0) $ 的右顶点与抛物线 $ y^{2} = 8x $ 的焦点重合，则 $ C $ 的离心率为(D)

A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{3}{4} $
C.$ \frac{\sqrt{3}}{4} $
D.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： 2.D【解析】由题意得$y^{2}=8x$的焦点为$(2,0)$，则$a = 2$，而$b = 1$，得$c = \sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{3}$，故椭圆C的离心率为$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. (2025·石家庄三模)已知椭圆 $ C:\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ b ＞ 0) $ 的左、右焦点分别为 $ F_{1}(-3,0) $，$ F_{2}(3,0) $，且过右焦点 $ F_{2} $ 的直线 $ l $ 交椭圆于 $ A,B $ 两点，$ \triangle AF_{1}B $ 的周长为 $ 20 $，则椭圆 $ C $ 的离心率为(B)

A.$ \frac{3}{10} $
B.$ \frac{3}{5} $
C.$ \frac{4}{5} $
D.$ \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： 3.B【解析】因为$\triangle AF_{1}B$的周长为$20$，所以$\vert AB\vert+\vert AF_{1}\vert+\vert BF_{1}\vert=\vert AF_{2}\vert+\vert BF_{2}\vert+\vert AF_{1}\vert+\vert BF_{1}\vert = 20$，由椭圆定义可知$4a = 20$，即$a = 5$.又$c = 3$，所以椭圆C的离心率为$\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$.

4. 已知有相同焦点 $ F_{1},F_{2} $ 的椭圆 $ \frac{x^{2}}{a} + y^{2} = 1(a ＞ 1) $ 和双曲线 $ \frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1(m ＞ 0) $，则椭圆与双曲线的离心率之积的取值范围为(A)

A.$ (1,+\infty) $
B.$ (0,1) $
C.$ (0,\frac{1}{2}) $
D.$ (\frac{1}{2},1) $

答案： 4.A【解析】由题可知，椭圆$\frac{x^{2}}{a}+y^{2}=1(a＞1)$的焦点在$x$轴上，则$c^{2}=a - 1$，且双曲线$\frac{x^{2}}{m}-y^{2}=1(m＞0)$的焦点在$x$轴上，则$c^{2}=m + 1$.因为椭圆和双曲线有相同的焦点，所以$a - 1=m + 1$，即$a=m + 2$.设椭圆与双曲线的离心率分别为$e_{1}$，$e_{2}$，则$e_{1}=\frac{\sqrt{a - 1}}{\sqrt{a}}$，$e_{2}=\frac{\sqrt{m + 1}}{\sqrt{m}}$，所以$e_{1}e_{2}=\frac{\sqrt{a - 1}}{\sqrt{a}}·\frac{\sqrt{m + 1}}{\sqrt{m}}=\frac{\sqrt{m + 1}}{\sqrt{m + 2}}·\frac{\sqrt{m + 1}}{\sqrt{m}}=\sqrt{\frac{(m + 1)^{2}}{(m + 1)^{2}-1}}＞1$.

5. (2025·景德镇三模)已知双曲线 $ C:\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1(a ＞ 0,b ＞ 0) $ 的右焦点为 $ F $，过右顶点 $ A $ 作 $ x $ 轴的垂线与 $ C $ 的一条渐近线交于点 $ B $，若 $ \angle BFA = 60^{\circ} $，则双曲线 $ C $ 的渐近线的斜率为(D)

A.$ \pm 1 $
B.$ \pm 2 $
C.$ \pm\sqrt{2} $
D.$ \pm\sqrt{3} $

答案： 5.D【解析】不妨取双曲线的一条渐近线方程为$y=\frac{b}{a}x$，则$B(a,b)$，又$\angle BFA = 60^{\circ}$，所以$\vert AB\vert=\sqrt{3}\vert AF\vert$，即$b=\sqrt{3}(c - a)$，故$c^{2}-a^{2}=3c^{2}+3a^{2}-6ac$，即$(c - 2a)(c - a)=0$，因为$c＞a$，所以$c = 2a$，所以$\pm\frac{b}{a}=\pm\sqrt{(\frac{c}{a})^{2}-1}=\pm\sqrt{3}$.