《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例 3 (2025·景德镇三模)一质点落在三棱锥 $ A - BCD $ 的顶点 $ A $ 处,每次均以相同的可能性沿着某条棱移动到另一个顶点处,记事件 $ E_i(i\in\mathbf{N}^*) $ 表示“该质点移动 $ i $ 次后落在顶点 $ A $ ”, $ \overline{E_i} $ 为 $ E_i $ 的对立事件,则 $ P(\overline{E_3}|E_6)= $\frac{49}{61}.

答案： 例3 $\frac{49}{61}$ 【解析】我们将$B,C,D$三个点看作一个整体，如果某次在点$A$，则下次一定不在点$A$的概率为$1$；如果某次不在点$A$，则下次在$A$与不在$A$的概率分别为$\frac{1}{3},\frac{2}{3}$，因为$P(E_3)=1 × \frac{2}{3} × \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，$P(E_6|E_3)=1 × \frac{2}{3} × \frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，则$P(E_3E_6)=P(E_3)P(E_6|E_3)=\frac{2}{9} × \frac{2}{9}=\frac{4}{81}$.因为$P(E_3)=1 - \frac{2}{9}=\frac{7}{9}$，$P(E_6|E_3)=\frac{1}{3} × 1+\frac{2}{3} × \frac{1}{3}=\frac{7}{27}$，则$P(E_3E_6)=P(\overline{E_3})P(E_6|\overline{E_3})=\frac{7}{9} × \frac{7}{27}=\frac{49}{243}$，则根据贝叶斯公式可得$P(E_3|E_6)=\frac{P(E_3E_6)}{P(E_6)}=\frac{P(E_3E_6)}{P(E_3E_6)+P(\overline{E_3}E_6)}=\frac{\frac{49}{243}}{\frac{4}{81}+\frac{49}{81}}=\frac{49}{61}$.

变式 3 (多选)某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查,为调动学生参与的积极性,凡参与者均有机会获得奖品.设置 3 个不同颜色的抽奖箱,每个箱子中的小球大小相同、质地均匀,其中红色箱子中放有红球 3 个、黄球 2 个、绿球 2 个;黄色箱子中放有红球 4 个、绿球 2 个;绿色箱子中放有红球 3 个、黄球 2 个.要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球,再放入与小球颜色相同的箱子中,再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球,若第二次抽取的是红色小球,则获得奖品,否则不能获得奖品.已知甲同学参与了问卷调查,则 (ACD)

A.在甲先抽取的是黄球的条件下,甲获得奖品的概率为 $ \frac{4}{7} $
B.在甲先抽取的不是红球的条件下,甲没有获得奖品的概率为 $ \frac{13}{14} $
C.甲获得奖品的概率为 $ \frac{24}{49} $
D.若甲获得奖品,则甲先抽取绿球的机会最小

答案： 变式3 ACD 【解析】设$R_1,A_1,G_1$分别表示先抽取的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设$R_2$表示再抽取的小球的颜色是红色的事件.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为$P(R_2|A_1)=\frac{P(R_2A_1)}{P(A_1)}=\frac{\frac{2}{7} × \frac{4}{7}}{\frac{2}{7}}=\frac{4}{7}$，故$A$正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为$P(R_2|\overline{R_1})=\frac{P(\overline{R_2}\overline{R_1})}{P(\overline{R_1})}=\frac{P(R_2A_1)+P(R_2G_1)}{P(R_1)}=\frac{\frac{2}{7} × \frac{3}{7}+\frac{2}{7} × \frac{1}{2}}{\frac{4}{7}}=\frac{13}{28}$，故$B$错误；由题意可知，$P(R_1)=\frac{3}{7}$，$P(A_1)=\frac{2}{7}$，$P(G_1)=\frac{2}{7}$，$P(R_2|R_1)=\frac{3}{7}$，$P(R_2|A_1)=\frac{4}{7}$，$P(R_2|G_1)=\frac{1}{2}$，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为$P = P(R_1)P(R_2|R_1)+P(A_1) · P(R_2|A_1)+P(G_1)P(R_2|G_1)=\frac{3}{7} × \frac{3}{7}+\frac{2}{7} × \frac{4}{7}+\frac{2}{7} × \frac{1}{2}=\frac{24}{49}$，故$C$正确；因为甲获得的红球来自每个箱子的颜色与先取小球的颜色相同，则$P(R_1|R_2)=\frac{P(R_1)P(R_2|R_1)}{P(R_2)}=\frac{\frac{3}{7} × \frac{3}{7}}{\frac{24}{49}}=\frac{3}{8}$，$P(A_1|R_2)=\frac{P(A_1)P(R_2|A_1)}{P(R_2)}=\frac{\frac{2}{7} × \frac{4}{7}}{\frac{24}{49}}=\frac{1}{3}$，$P(G_1|R_2)=\frac{P(G_1)P(R_2|G_1)}{P(R_2)}=\frac{\frac{2}{7} × \frac{1}{2}}{\frac{24}{49}}=\frac{7}{24}$，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球的机会最小，故$D$正确.