《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

变式 1
(1) 已知 $a = 2 \cos 73^{\circ}$，那么 $\dfrac{2 \sin^{2} 28^{\circ} - 1}{a \sqrt{4 - a^{2}}} =$ (C)
A.$-2$
B.$-1$
C.$- \dfrac{1}{2}$
D.$- \dfrac{1}{4}$

答案： 变式1
(1)C【解析】因为$a = 2\cos73^{\circ}=2\sin17^{\circ}$，则
$\frac{2\sin^{2}28^{\circ}-1}{a\sqrt{4 - a^{2}}}=-\frac{\cos56^{\circ}}{2\sin17^{\circ}\sqrt{4 - 4\sin^{2}17^{\circ}}}=-\frac{\sin34^{\circ}}{2\sin34^{\circ}}=\frac{1}{2}$。

(2) 已知 $\sin ( \alpha + \beta ) \sin ( \alpha - \beta ) = \dfrac{1}{3}$，$\sin \alpha + \sin \beta = m$，则 $\sin \alpha - \sin \beta =$ (A)

A.$\dfrac{1}{3 m}$
B.$\dfrac{m}{3}$
C.$- \dfrac{1}{3 m}$
D.$- \dfrac{m}{3}$

答案：
(2)A【解析】方法一：因为$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$，
$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$，所以$\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\sin^{2}\alpha\cos^{2}\beta-\cos^{2}\alpha\sin^{2}\beta=\sin^{2}\alpha(1-\sin^{2}\beta)-(1-\sin^{2}\alpha)\sin^{2}\beta=\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta-\sin^{2}\beta+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\beta=\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta$，由$\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=\frac{1}{3}$，可得$\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta=\frac{1}{3}$，因为$\sin\alpha+\sin\beta=m$，
所以$\sin\alpha-\sin\beta=\frac{\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta}{\sin\alpha+\sin\beta}=\frac{1}{3m}$。
方法二：由积化和差公式得$\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=-\frac{1}{2}(\cos2\alpha-\cos2\beta)=-\frac{1}{2}\left[(1 - 2\sin^{2}\alpha)-(1 - 2\sin^{2}\beta)\right]=\sin^{2}\alpha-\sin^{2}\beta=(\sin\alpha+\sin\beta)(\sin\alpha-\sin\beta)=\frac{1}{3}$，故$\sin\alpha-\sin\beta=\frac{1}{3m}$。

例 2 (2025·苏锡常镇一模)已知 $\sin ( \alpha + \beta ) = \dfrac{3}{5}$，$\tan \alpha = 2 \tan \beta$，则 $\sin ( \alpha - \beta ) =$ (B)

A.$- \dfrac{1}{5}$
B.$\dfrac{1}{5}$
C.$\dfrac{2}{5}$
D.$\dfrac{3}{5}$

答案： 例2 B【解析】由$\tan\alpha = 2\tan\beta$，可得$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{2\sin\beta}{\cos\beta}$，所以
$\sin\alpha\cos\beta=2\cos\alpha\sin\beta$。由$\sin(\alpha+\beta)=\frac{3}{5}$，可得$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{3}{5}$，联立$\begin{cases}\sin\alpha\cos\beta=2\cos\alpha\sin\beta\\\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\frac{3}{5}\end{cases}$可得$\begin{cases}\sin\alpha\cos\beta=\frac{2}{5}\\\cos\alpha\sin\beta=\frac{1}{5}\end{cases}$，
所以$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=\frac{1}{5}$。

变式 2
(1) (2025·武汉调研)已知 $\tan \alpha \tan \beta = 2$，$\cos ( \alpha - \beta ) = \dfrac{1}{3}$，则 $\cos ( \alpha + \beta ) =$ $-\frac{1}{9}$ .

答案： 变式2
(1)$-\frac{1}{9}$【解析】依题意，$\tan\alpha\tan\beta=\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=2$，
则$\sin\alpha\sin\beta=2\cos\alpha\cos\beta$。由$\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{3}$，得$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{3}$，所以$\cos\alpha\cos\beta=\frac{1}{9}$，所以$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha·\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=-\cos\alpha\cos\beta=-\frac{1}{9}$。

(2) (2025·厦门一模)已知 $0 ＜ \alpha ＜ \dfrac{\pi}{2}$，若 $\tan \left( \alpha + \dfrac{\pi}{4} \right) = 2 ( \sin \alpha + \cos \alpha )$，则 $\sin 2 \alpha =$ (C)

A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{5}$

答案：
(2)C【解析】由题得$\tan\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1+\tan\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}$，
$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=2(\sin\alpha+\cos\alpha)$，因为$0＜\alpha＜\frac{\pi}{2}$，所
以$\sin\alpha＞0,\cos\alpha＞0$，故$\sin\alpha+\cos\alpha\neq0$，则$\frac{1}{\cos\alpha-\sin\alpha}=2$，所
以$\cos\alpha-\sin\alpha=\frac{1}{2}$，故$(\cos\alpha-\sin\alpha)^{2}=\cos^{2}\alpha-2\cos\alpha\sin\alpha+\sin^{2}\alpha=1-\sin2\alpha=\frac{1}{4}$，解得$\sin2\alpha=\frac{3}{4}$。

例 3 (2025·杭州质检)若 $\sin x + \cos x = 2 \sin \alpha$，$\sin x \cos x = \sin^{2} \beta$，则 (A)

A.$4 \cos^{2} 2 \alpha = \cos^{2} 2 \beta$
B.$\cos^{2} 2 \alpha = 4 \cos^{2} 2 \beta$
C.$4 \cos 2 \alpha = \cos 2 \beta$
D.$\cos 2 \alpha = 4 \cos 2 \beta$

答案： 例3 A【解析】将$\sin x+\cos x = 2\sin\alpha$两边平方得$1 +2\sin x\cos x=4\sin^{2}\alpha$，结合$\sin x\cos x=\sin^{2}\beta$可得$1 + 2\sin^{2}\beta=4\sin^{2}\alpha$，即$1+2\sin^{2}\beta-4\sin^{2}\alpha=0$，即$2\cos2\alpha-\cos2\beta=2(1 -2\sin^{2}\alpha)-(1-\sin^{2}2\beta)=1+2\sin^{2}\beta-4\sin^{2}\alpha=0$，即$2\cos2\alpha=\cos2\beta$，故C,D错误。又$4\cos^{2}2\alpha-\cos^{2}2\beta=(2\cos2\alpha+\cos2\beta)·(2\cos2\alpha+\cos2\beta)=0$，所以$4\cos^{2}2\alpha=\cos^{2}2\beta$，故A正确，B错误.

变式 3
(1) (2025·苏北七市二调)已知 $\sin 2 \alpha = 2 \sin 2 \beta$，$\cos 2 \alpha = 4 \sin^{2} \beta$，则 $\cos ( 2 \alpha + \beta ) =$ 0 .

答案： 变式3
(1)0【解析】依题意，$\sin2\alpha=2\sin2\beta,\cos2\alpha=4\sin^{2}\beta$，
若$\sin\beta = 0$，则$\cos2\alpha = 0$，而$\sin2\alpha=2\sin2\beta\cos\beta=0$，与
$\sin^{2}2\alpha+\cos^{2}2\alpha = 1$矛盾，所以$\sin\beta\neq0,\cos2\alpha\neq0$，所以$\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}=\frac{2\sin2\beta}{4\sin^{2}\beta}=\frac{\cos\beta}{\sin\beta}$，则$\cos2\alpha\cos\beta-\sin2\alpha\sin\beta = 0$，即$\cos(2\alpha +\beta)=0$。

(2) 已知锐角 $\alpha$，$\beta$ 满足 $\tan \alpha = \cos^{2} \beta$，$\tan^{2} \beta = \tan \dfrac{\alpha}{2}$，则 $\dfrac{\sin \beta}{\sin \alpha}$ 的值为 $\frac{5}{6}$ .

答案：
(2)$\frac{5}{6}$【解析】因为$\tan\alpha=\cos^{2}\beta,\tan^{2}\beta=\tan\frac{\alpha}{2}$，所以$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}{2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$，又$\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\tan\alpha}{\sin\alpha}$，
所以$\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1-\tan\alpha}{\tan\alpha}\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\sin\alpha}$，所以$1-\cos\alpha=\cos\alpha-\sin\alpha$，即$1+\sin\alpha = 2\cos\alpha$，又$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha = 1$，所以$5\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha-3=0$，又$\alpha$为锐角，解得$\sin\alpha=\frac{3}{5}$或$\sin\alpha=-1$(舍去)，
所以$\cos\alpha=\frac{4}{5},\tan\alpha=\frac{3}{4}$，所以$\frac{\sin\beta}{\sin\alpha}=\sqrt{\frac{\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}}=\sqrt{\frac{1-\cos^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}}=\sqrt{\frac{1-\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}}=\sqrt{\frac{1-\frac{3}{4}}{1-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}}}=\sqrt{\frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{16}}}=\frac{5}{6}$。