《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. (2025·济宁一模)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为(C)

A.$\frac{3}{16}$
B.$\frac{3}{13}$
C.$\frac{3}{8}$
D.$\frac{3}{4}$

答案： 1.C【解析】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B，则P(A)=0.7×0.7+2×0.7×0.3×0.7=0.784，P(AB)=2×0.7×0.3×0.7=0.294，所以P(B|A)=$\frac{P(AB)}{P(A)}$=$\frac{0.294}{0.784}$=$\frac{3}{8}$。

2. 为弘扬航天精神，某大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛，初赛通过后进入复赛，复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品.为鼓励学生积极参加，学校给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品，参加了复赛的学生再奖励100元的奖品.现有A，B，C三名学生报名参加了这次竞赛，已知A通过初赛、复赛的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$；B通过初赛、复赛的概率分别为$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$，C通过初赛和复赛的概率与B完全相同.记这三人获得的奖品总额为X元，则X的数学期望为(B)

A.300元
B.$\frac{1000}{3}$元
C.350元
D.$\frac{2000}{3}$元

答案： 2.B【解析】由题知X的所有可能取值为150,250,350,450，P(X=150)=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{18}$，P(X=250)=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$+2×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{18}$，P(X=350)=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，P(X=450)=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，所以数学期望E(X)=150×$\frac{1}{18}$+250×$\frac{5}{18}$+350×$\frac{4}{9}$+450×$\frac{2}{9}$=$\frac{1000}{3}$(元).

3. 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三人通过初赛，进入决赛.决赛比赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，直到一人连胜三局，则此人为冠军，比赛结束.假设每局比赛双方获胜的概率均为$\frac{1}{2}$，且每局比赛相互独立，则比赛进行四局结束的概率为$\frac{1}{8}$.

答案： 3.$\frac{1}{8}$【解析】比赛进行四局结束有以下两种情况：第一局甲获胜，后三局丙连胜；第一局乙获胜，后三局丙连胜.第一局甲获胜，后三局丙连胜的概率$P_1$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$，第一局乙获胜，后三局丙连胜的概率$P_2$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{16}$，故比赛进行四局结束的概率$P$=$P_1$+$P_2$=$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{8}$.

4. (2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是0.18.

答案： 4.0.18【解析】甲队要以4:1获胜，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场、2个客场，于是分两种情况：主场输一场或客场输一场，故甲队以4:1获胜的概率为$C_2^1$×0.6×0.4×$0.5^2$×0.6+$0.6^2$×$C_2^1$×0.5×0.5×0.6=0.18.