《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例1-1 (2025·宜春二模节选)为提升服务品质,某冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训,针对4个基本滑雪动作(站姿、滑行、转弯、刹车)进行指导.根据统计,每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为$\frac{2}{3},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{2}$,且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立.若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练,则可称为滑雪入门.
(1)求初学者滑雪入门的概率;
(2)现有一旅行团到该冰雪体验中心游玩,其中有30人参加滑雪培训,且均为初学者,每个人滑雪条件相当,令$X$为滑雪入门的人数,求$E(X)$,并求这30人中多少人滑雪入门的概率最大.$\frac{11}{36}$$\frac{55}{6}$

答案： 例1-1【解答】
(1)设事件$A_{i}(i = 1,2,3,4)$分别表示初学者对站姿、滑行、转弯、刹车达到熟练，记滑雪初学者滑雪入门为事件$B$，所以$P(B)=P(A_{1}A_{2}A_{3}A_{4})+P(\overline{A_{1}}A_{2}A_{3}A_{4})+P(A_{1}\overline{A_{2}}A_{3}A_{4})+P(A_{1}A_{2}\overline{A_{3}}A_{4})+P(A_{1}A_{2}A_{3}\overline{A_{4}})=\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+(1 - \frac{2}{3})×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×(1 - \frac{1}{2})×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{2})×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×(1 - \frac{1}{2})=\frac{11}{36}$
(2)因为初学者是相互独立的，随机变量$X$为滑雪入门的人数，则$X\sim B(30,\frac{11}{36})$，可得$P(X = r)=C_{30}^{r}(\frac{11}{36})^{r}(\frac{25}{36})^{30 - r}(r = 0,1,2,·s,30)$，$E(X)=30×\frac{11}{36}=\frac{55}{6}$.设有$k$人滑雪入门的概率最大，则$\begin{cases}C_{30}^{k}(\frac{11}{36})^{k}(\frac{25}{36})^{30 - k}\geq C_{30}^{k - 1}(\frac{11}{36})^{k - 1}(\frac{25}{36})^{31 - k}\\C_{30}^{k}(\frac{11}{36})^{k}(\frac{25}{36})^{30 - k}\geq C_{30}^{k + 1}(\frac{11}{36})^{k + 1}(\frac{25}{36})^{29 - k}\end{cases}$，解得$\frac{305}{36}\leq k\leq\frac{341}{36}$，因为$k\in N^{*}$，所以$k = 9$，即这30人中9人滑雪入门的概率最大.