《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

变式1 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会，学校设置项目一“毛毛虫旱地龙舟”和项目二“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛，每一个比赛项目均采取五局三胜制(即有一方先胜3局即获胜，比赛结束)，假设在项目一中甲班每一局获胜的概率为$\frac{2}{3}$，在项目二中甲班每一局获胜的概率为$\frac{1}{2}$，且每一局之间没有影响.
(1) 求甲班在项目一中获胜的概率；
(2) 设甲班获胜的项目个数为$X$，求$X$的分布列及数学期望.$\frac{64}{81}$X的分布列为：X012P$\frac{17}{162}$$\frac{1}{2}$$\frac{32}{81}$，数学期望为$\frac{209}{162}$

答案： 变式1【解答】
(1)记事件A=“甲班在项目一中获胜”，则$P(A)$=$C_3^3$($\frac{2}{3}$)$^3$+$C_3^2$($\frac{2}{3}$)$^2$×$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{3}$+$C_3^1$($\frac{2}{3}$)×($\frac{1}{3}$)$^2$×$\frac{2}{3}$=$\frac{64}{81}$，所以甲班在项目一中获胜的概率为$\frac{64}{81}$.
(2)记事件B=“甲班在项目二中获胜”，则$P(B)$=$C_3^3$($\frac{1}{2}$)$^3$+$C_3^2$($\frac{1}{2}$)$^2$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$+$C_3^1$($\frac{1}{2}$)×($\frac{1}{2}$)$^2$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$.X的可能取值为0,1,2，则$P(X=0)$=$P(\overline{A}\overline{B})$=$P(\overline{A})P(B)$=$\frac{17}{81}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{17}{162}$，$P(X=2)$=$P(AB)$=$P(A)P(B)$=$\frac{64}{81}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{32}{81}$，$P(X=1)$=1-$P(X=0)$-$P(X=2)$=$\frac{1}{2}$，所以X的分布列为
X012
P$\frac{17}{162}$$\frac{1}{2}$$\frac{32}{81}$
故$E(X)$=0×$\frac{17}{162}$+1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{32}{81}$=$\frac{209}{162}$，所以甲班获胜的项目个数的数学期望为$\frac{209}{162}$.

例2 (2025·南宁三模节选)甲、乙两位选手进行乒乓球擂台赛，比赛规则如下：①擂台赛开始时，擂主由抽签决定，甲和乙成为初始擂主的概率均为0.5；②每局比赛无平局，擂主守擂成功的概率是0.6，若守擂失败，则挑战者成为新任擂主；③当某位选手连续两次担任擂主(不包含初始擂主)时，比赛立即结束，该选手获得胜利.
(1) 若甲是初始擂主，求比赛在前三局内结束的概率；
(2) 已知甲是初始擂主，求比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率.0.840.6

答案： 例2【解答】
(1)甲是初始擂主时，比赛在前三局内结束包含以下情况：甲连胜两局，概率为0.6×0.6=0.36，乙连胜两局，概率为0.4×0.6=0.24；甲胜第一局乙连胜后两局，概率为0.6×0.4×0.6=0.144；乙胜第一局甲连胜后两局，概率为0.4×0.4×0.6=0.096.设事件A为比赛在前三局内结束，则$P(A)$=0.36+0.24+0.144+0.096=0.84.故比赛在前三局内结束的概率为0.84.
(2)设事件B为比赛在第四局结束，事件C为甲最终获胜，事件D为乙最终获胜，则比赛在第四局结束且甲最终获胜，只可能是甲胜第一局，乙胜第二局，甲连胜后两局，故$P(BC)$=0.6×0.4×0.4×0.6=0.0576.比赛在第四局结束且乙最终获胜，只可能是乙胜第一局，甲胜第二局，乙连胜后两局，则其概率为$P(BD)$=0.4×0.4×0.4×0.6=0.0384，故$P(B)$=$P(BC)$+$P(BD)$=0.0576+0.0384=0.096.故比赛在第四局结束的条件下甲最终获胜的概率为$P(C|B)$=$\frac{P(BC)}{P(B)}$=$\frac{0.0576}{0.096}$=0.6.