《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例 1 (1)(2024·新高考Ⅰ卷)当$x \in [0,2\pi]$时，曲线$y = \sin x$与$y = 2\sin(3x - \frac{\pi}{6})$的交点个数为(C)

A.3
B.4
C.6
D.8

答案：

(1)C[解析]在同一坐标系中，作出函数$y=\sin x$与$y=2\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$在$[0,2\pi]$上的图象，如图所示。由图象可知，当$x\in[0,2\pi]$时，曲线$y=\sin x$与$y=2\sin\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)$的交点个数为6。

(2)(2025·黄冈一模)(多选)如图，函数$f(x) = A\sin(\omega x + \varphi)(A ＞ 0,\omega ＞ 0,|\varphi| \leq \frac{\pi}{2})$的图象与$x$轴的其中两个交点为$A,B$，与$y$轴交于点$C$，$D$为线段$BC$的中点，$|OB| = \sqrt{3}|OC|$，$|OA| = 2$，$|AD| = \frac{2\sqrt{21}}{3}$，则(ACD)


A.$f(x)$的图象不关于直线$x = 8$对称
B.$f(x)$的最小正周期为$12\pi$
C.$f(-x + 2)$的图象关于原点对称
D.$f(x)$在$[5,7]$上单调递减

答案：
(2)ACD[解析]由题意知$A(2,0)$，$B\left(2 + \frac{\pi}{\omega},0\right)$，$C(0,A\sin\varphi)$，则$D\left(1 + \frac{\pi}{2\omega},A\sin\varphi\right)$，有$\sqrt{3}\left|A\sin\varphi\right|=2 + \frac{\pi}{\omega}$，$\sin(2\omega + \varphi)=0$。因为$\left|AD\right|=\frac{2\sqrt{21}}{3}$，所以$\left(\frac{\pi}{2\omega}-1\right)^2 + A^2\sin^2\varphi=\frac{28}{3}$，把$\left|A\sin\varphi\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(2 + \frac{\pi}{\omega}\right)$代入上式并整理得$\left(\frac{\pi}{\omega}\right)^2 - 2×\frac{\pi}{\omega}-24 = 0$，解得$\frac{\pi}{\omega}=6$（负值舍去），所以$\omega=\frac{\pi}{6}$，所以$\sin\left(\frac{\pi}{6}+\varphi\right)=0$，由$\left|\varphi\right|\leq\frac{\pi}{2}$，解得$\varphi=-\frac{\pi}{3}$，所以$\sqrt{3}\left|A\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right|=8$，解得$A=\frac{16}{3}$，所以$f(x)=\frac{16}{3}\sin\left(\frac{\pi}{6}x - \frac{\pi}{3}\right)$。对于A，$f(8)=\frac{16}{3}\sin\left(\frac{\pi}{6}×8 - \frac{\pi}{3}\right)=0$，故A正确；对于B，$f(x)$的最小正周期为$\frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}} = 12$，故B错误；对于C，$f(-x + 2)=\frac{16}{3}\sin\left[\frac{\pi}{6}(-x + 2)-\frac{\pi}{3}\right]=-\frac{16}{3}\sin\frac{\pi}{6}x$，所以$f(-x + 2)$为奇函数，故C正确；对于D，当$5\leq x\leq7$时，$\frac{\pi}{2}\leq\frac{\pi}{6}x - \frac{\pi}{3}\leq\frac{5\pi}{6}$，所以$f(x)$在$[5,7]$上单调递减，故D正确。

变式 1 (1)(2025·河北模拟)函数$f(x) = \tan 2x$与$g(x) = (\frac{1}{2})^{|x|}$的图象在$x \in (-2,5)$上的交点个数为(D)

A.2
B.3
C.4
D.5

答案：

(1)D[解析]要求函数$f(x)=\tan 2x$与$g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\left|x\right|}$的图象在$x\in(-2,5)$上的交点的个数，可作出$f(x)=\tan 2x$与$g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{\left|x\right|}$的图象如图所示，结合图象可知在$x\in(-2,5)$上两图象有5个交点。

(2)(2025·许昌二模)已知函数$f(x) = \sqrt{3}\sin(\omega x + \varphi)(\omega ＞ 0)$的部分图象如图所示，若$\overrightarrow{AB} · \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}|^2$，则$\omega =$(B)


A.$\frac{\pi}{12}$
B.$\frac{\pi}{6}$
C.$\frac{\pi}{4}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案：

(2)B[解析]由$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|^2$，可得$-\left|\overrightarrow{AB}\right|·\left|\overrightarrow{BC}\right|\cos\angle ABC=\left|\overrightarrow{AB}\right|^2$，由题图可知$2\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|$，所以$\cos\angle ABC=-\frac{1}{2}$，所以$\angle ABC=\frac{2\pi}{3}$。如图，过点$B$作$BE\perp x$轴于点$E$，可得$\left|BE\right|=\sqrt{3}$且$\angle ABE=\frac{\pi}{3}$，所以$\left|AE\right|=\left|BE\right|\tan\angle ABE=3$，可得函数$f(x)$的最小正周期为$T = 12$，所以$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{6}$。