《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. (2025·龙岩 5 月质检)甲、乙、丙三家公司生产同一种产品.三家公司的市场占有率如图所示,且甲、乙、丙三家公司产品的次品率分别为 2%，1%和 $ m\% $.若市场上该产品的次品率为 2%，则 $ m = $ (C)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1 C 【解析】设从出厂产品中任取一件，它是次品为事件$A$，则$P(A)=50\% × 2\% + 25\% × 1\% + 25\% × m\% = 2\%$，解得$m = 3$.

2. (2025·台州质检)已知一个盒子里有 4 个大小、形状完全相同的小球,其中 2 个红球、2 个黑球,现从中任取两球,若已知一个是红球,则另一个也是红球的概率是 (A)

A.$ \frac{1}{5} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ \frac{1}{3} $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 2 A 【解析】设事件$A$表示“在所取的球中有一个是红球”，事件$B$表示“另一个也是红球”，则$P(A)=\frac{C_{2}^{2} + C_{2}^{1}C_{2}^{1}}{C_{4}^{2}} = \frac{5}{6}$，$P(AB)=\frac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}} = \frac{1}{6}$，在已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{5}$.

3. 某技术部门招工需经过四项考核,设应聘者能够通过第一、二、三、四项考核的概率分别为 0.6,0.8,0.9 和 0.65,各项考核是相互独立的.每个应聘者都要经过四项考核,只要有一项考核不通过即被淘汰,则通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为0.48.

答案： 3 0.48 【解析】设事件$B$表示最终通过考核，事件$A_i(i = 1,2,3,4)$表示通过第$i(i = 1,2,3,4)$项考核.因为各项考核是相互独立的，所以该部门招工的通过率为$P(B)=0.6 × 0.8 × 0.9 × 0.65 = 0.2808$，在通过第一、三项考核的情况下考核全部通过的概率为$P(B|A_1A_3)=\frac{P(B)}{P(A_1A_3)}=\frac{0.2808}{0.6 × 0.9}=0.52$，因此，通过第一、三项考核但是仍被淘汰的概率为$1 - P(B|A_1A_3)=1 - 0.52 = 0.48$.

4. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件 $ A $, $ B $ 存在如下关系:$ P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} $.若某地区一种疾病的患病率是 0.05,现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为 95%,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测,有 95%的可能呈现阳性;该试剂的误报率为 0.5%,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测,有 0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者,已知检验结果呈现阳性,则此人患病的概率为 (C)

A.$ \frac{405}{1000} $
B.$ \frac{909}{1000} $
C.$ \frac{10}{11} $
D.$ \frac{21}{22} $

答案： 4 C 【解析】设检验结果呈现阳性为事件$A$，此人患病为事件$B$，则$P(AB)=P(B)P(A|B)=0.05 × 95\% = 4.75\%$，$P(A)=P(AB)+P(\overline{A}B)=P(B)P(A|B)+P(B)P(A|\overline{B})=4.75\% + (1 - 0.05) × 0.5\% = 5.225\%$，则$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{4.75\%}{5.225\%}=\frac{10}{11}$.