《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例1 (1)(墙角模型)若四面体$ABCD$的每个顶点都在球$O$的球面上，$AB$，$AC$，$AD$两两垂直，且$AB=\sqrt{3}$，$AC=2$，$AD=3$，则球$O$的表面积为(B)

A.$64\pi$
B.$16\pi$
C.$4\pi$
D.$\pi$

答案：
(1)B　[解析]四面体$ABCD$的外接球$O$即为以$AC,AB,AD$为长、宽、高的长方体的外接球，所以球$O$的外接球半径$R=\frac{1}{2}\sqrt{AB^{2}+AC^{2}+AD^{2}} = 2$，则球$O$的表面积$S = 4\pi R^{2}=16\pi$。

(2)(鳖臑模型)(2025·黄山一模)已知三棱锥$P - ABC$的四个面均为直角三角形，$PA\perp$平面$ABC$，$PA = AB = 4$，$AC = 6$，则三棱锥$P - ABC$外接球的表面积为(D)

A.$12\pi$
B.$24\pi$
C.$32\pi$
D.$52\pi$

答案：

(2)D　[解析]根据题意可构造如图所示的长方体，设其外接球的半径为$R$。易知三棱锥$P - ABC$的外接球就是该长方体的外接球，则$2R = PC=\sqrt{PA^{2}+AC^{2}}=\sqrt{4^{2}+6^{2}}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$，所以三棱锥$P - ABC$外接球的表面积为$4\pi R^{2}=52\pi$。
　　　　　　　

(3)(对棱相等模型)(2025·株洲质检)如图，在三棱锥$P - ABC$中，$PA = BC = \sqrt{3}$，$PB = AC = 2$，$PC = AB = \sqrt{5}$，则三棱锥$P - ABC$外接球的体积为(C)


A.$\sqrt{2}\pi$
B.$\sqrt{3}\pi$
C.$\sqrt{6}\pi$
D.$6\pi$

答案：
(3)C　[解析]由题意，$PA = BC=\sqrt{3}$，$PB = AC = 2$，$PC = AB=\sqrt{5}$，将三棱锥$P - ABC$放到长方体中，可得长方体的三条面对角线长分别为$\sqrt{3},2,\sqrt{5}$。设长方体的长、宽、高分别为$a,b,c$，则$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{3}$，$\sqrt{a^{2}+c^{2}} = 2$，$\sqrt{c^{2}+b^{2}}=\sqrt{5}$，解得$a = 1$，$b=\sqrt{2}$，$c=\sqrt{3}$，所以三棱锥$P - ABC$外接球的半径$R=\frac{1}{2}×\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，所以三棱锥$P - ABC$外接球的体积$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}=\sqrt{6}\pi$。