《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. 不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和2个白球，这些球除颜色外无其他差异.现从中一次性随机取出3个球，那么取到2个红球的概率是(B)

A.$\frac{1}{14}$
B.$\frac{5}{14}$
C.$\frac{3}{14}$
D.$\frac{7}{14}$

答案： 1.B【解析】$P = \frac { C _ { 4 } ^ { 2 } C _ { 5 } ^ { 1 } } { C _ { 9 } ^ { 3 } } = \frac { 5 } { 1 4 }$.

2.(苏教选必二P129练习6改编)(多选)假定某射手每次射击命中目标的概率为$\frac{2}{3}$，现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设消耗的子弹数为$X$，关于$X$，下列说法正确的有(ABC)

A.$X$的可能取值为1，2，3
B.$P(X = 1)=\frac{2}{3}$
C.$E(X)=\frac{13}{9}$
D.$\sqrt{D(X)}=\frac{2\sqrt{5}}{9}$

答案： 2.ABC【解析】因为射手一旦射中就停止，所以可能第1发就命中$(X = 1)$；第1发没命中，第2发命中$(X = 2)$；前2发都没命中，第3发不管中没都得停止$(X = 3)$，所以$X$的可能取值为1,2,3,A正确.$P(X = 1)$表示第1发就命中的概率，每次命中的概率为$\frac { 2 } { 3 }$，所以$P ( X = 1 ) = \frac { 2 } { 3 }$，B正确.$P ( X = 2 ) = \frac { 1 } { 3 } × \frac { 2 } { 3 } = \frac { 2 } { 9 }$，$P ( X = 3 ) = \frac { 1 } { 3 } × \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 9 }$，故均值为$E ( X ) = 1 × P ( X = 1 ) + 2 × P ( X = 2 ) + 3 × P ( X = 3 ) = 1 × \frac { 2 } { 3 } + 2 × \frac { 2 } { 9 } + 3 × \frac { 1 } { 9 } = \frac { 6 + 4 + 3 } { 9 } = \frac { 1 3 } { 9 }$，C正确.因为$E ( X ^ { 2 } ) = 1 ^ { 2 } × \frac { 2 } { 3 } + 2 ^ { 2 } × \frac { 2 } { 9 } + 3 ^ { 2 } × \frac { 1 } { 9 } = \frac { 2 } { 3 } + \frac { 8 } { 9 } + 1 = \frac { 6 + 8 + 9 } { 9 } = \frac { 2 3 } { 9 }$，所以$D ( X ) = E ( X ^ { 2 } ) - [ E ( X ) ] ^ { 2 } = \frac { 2 3 } { 9 } - ( \frac { 1 3 } { 9 } ) ^ { 2 } = \frac { 3 8 } { 8 1 }$，那么$\sqrt { D ( X ) } = \sqrt { \frac { 3 8 } { 8 1 } } \neq \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 9 }$，D错误.

3.(苏教选必二P116练习8改编)(多选)一批产品中有23%的次品，现从中随机抽样(不放回)，直到抽出1件次品为止.令$y$表示直到抽出1件次品时已抽出产品个数，概率分布为$P(y)=0.23·0.77^{y - 1}(y = 1,2,3,·s)$，则下列说法正确的有(AC)

A.$P(1)=0.23$，代表“第1次抽样就抽到次品”的概率
B.$P(5)=0.23×0.77^{5}$
C.$P(y\geq2)=0.77$，等价于“第1次抽到正品”的概率
D.随着$y$的增大，$P(y)$会逐渐变大，因为尝试次数越多，抽到次品的概率越高

答案： 3.AC【解析】当$y=1$时，代入概率分布公式得$P ( 1 ) = 0 . 2 3 × 0 . 7 7 ^ { 1 - 1 } = 0 . 2 3 × 1 = 0 . 2 3$，表示第1次抽样就抽到次品的概率，故A正确.对于$P ( 5 )$，根据公式$P ( y ) = 0 . 2 3 · 0 . 7 7 ^ { y - 1 }$，当$y = 5$时，$P ( 5 ) = 0 . 2 3 × 0 . 7 7 ^ { 5 - 1 } = 0 . 2 3 × 0 . 7 7 ^ { 4 }$，故B错误.$P ( y \geqslant 2 )$的意思是直到抽出次品时，抽出产品个数大于等于2，也就是第1次抽到的不是次品(即第1次抽到正品).根据概率的基本性质，$P ( y \geqslant 2 ) = 1 - P ( y = 1 )$，又$P ( 1 ) = 0 . 2 3$，所以$P ( y \geqslant 2 ) = 1 - 0 . 2 3 = 0 . 7 7$，这和第1次抽到正品的概率相等，故C正确.因为$0 ＜ 0 . 7 7 ＜ 1$，根据指数函数的性质，$P ( y ) = 0 . 2 3 · 0 . 7 7 ^ { y - 1 }$单调递减，故D错误.

4.(苏教选必二P123练习9改编)已知随机变量$X$满足$P(X = n)=\frac{1}{2^{n}}$，$n = 1,2,3,·s$，若$n$的取值可足够大，则$E(X)$的值可无限接近2(填整数).

答案： 4.2【解析】因为随机变量X满足$P ( X = n ) = \frac { 1 } { 2 ^ { n } } ,n = 1 , 2 , 3 , ·s$，所以$E ( X ) = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 2 ^ { 2 } } + ·s + \frac { n - 1 } { 2 ^ { n - 1 } } + \frac { n } { 2 ^ { n } }$①，$\frac { 1 } { 2 } E ( X ) = \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + \frac { 2 } { 2 ^ { 3 } } + ·s + \frac { n - 1 } { 2 ^ { n } } + \frac { n } { 2 ^ { n + 1 } }$②，由①-②，得$\frac { 1 } { 2 } E ( X ) = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } + ·s + \frac { 1 } { 2 ^ { n } } - \frac { n } { 2 ^ { n + 1 } } = \frac { \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n } } ) } { 1 - \frac { 1 } { 2 } } - \frac { n } { 2 ^ { n + 1 } } = 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n } } - \frac { n } { 2 ^ { n } }$，则$E ( X ) = 2 - \frac { 1 } { 2 ^ { n - 1 } } - \frac { n } { 2 ^ { n } }$，当$n$趋向于无穷大时，其极限为2，故$E ( X ) = 2$.