《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. 已知数列$\{ a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=2n - 3×(\frac{1}{5})^{n}$，那么其前 20 项和为(C)

A.$380 - \frac{3}{5}(1 - \frac{1}{5^{19}})$
B.$400 - \frac{2}{5}(1 - \frac{1}{5^{20}})$
C.$420 - \frac{3}{4}(1 - \frac{1}{5^{20}})$
D.$440 - \frac{4}{5}(1 - \frac{1}{5^{20}})$

答案： 1.C 【解析】设数列$\{ a _ { n } \}$的前$n$项和为$S _ { n }$，则$S _ { 2 0 } = a _ { 1 } +$$a _ { 2 } + ·s + a _ { 2 0 } = 2 × ( 1 + 2 + ·s + 2 0 ) - 3 × \left( \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 5 ^ { 2 } } + ·s + \frac { 1 } { 5 ^ { 2 0 } } \right) =$$2 × \frac { 2 0 × ( 2 0 + 1 ) } { 2 } - 3 × \frac { \frac { 1 } { 5 } \left( 1 - \frac { 1 } { 5 ^ { 2 0 } } \right) } { 1 - \frac { 1 } { 5 } } = 4 2 0 - \frac { 3 } { 4 } \left( 1 - \frac { 1 } { 5 ^ { 2 0 } } \right)$.

2. (多选)已知数列$\{ a_{n}\}$为$\frac{1}{2},\frac{1}{3}+\frac{2}{3},\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4},·s,\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+·s+\frac{9}{10},·s$。若$b_{n}=\frac{1}{a_{n}· a_{n + 1}}$，设数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，则(AC)

A.$a_{n}=\frac{n}{2}$
B.$a_{n}=n$
C.$S_{n}=\frac{4n}{n + 1}$
D.$S_{n}=\frac{5n}{n + 1}$

答案： 2.AC 【解析】由题意得$a _ { n } = \frac { 1 } { n + 1 } + \frac { 2 } { n + 1 } + ·s + \frac { n } { n + 1 } =$$\frac { 1 + 2 + 3 + ·s + n } { n + 1 } = \frac { n } { 2 }$，所以$b _ { n } = \frac { 1 } { \frac { n } { 2 } } · \frac { \frac { n } { n + 1 } } { 2 } - \frac { n ( n + 1 ) } { 2 } = 4 \left( \frac { 1 } { n } -\right.$$\frac { 1 } { n + 1 } )$，故$S _ { n } = b _ { 1 } + b _ { 2 } + b _ { 3 } + ·s + b _ { n } = 4 \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \right.$$\left. ·s + \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 } \right) = 4 \left( 1 - \frac { 1 } { n + 1 } \right) = \frac { 4 n } { n + 1 }$.

3. 在数列$\{ a_{n}\}$中，若$a_{n + 1}+(-1)^{n}a_{n}=2n - 1$，则数列$\{ a_{n}\}$的前 12 项和为78。

答案： 3.78 【解析】因为$a _ { n + 1 } + ( - 1 ) ^ { n } a _ { n } = 2 n - 1$，所以$a _ { n + 2 } +$ $( - 1 ) ^ { n + 1 } a _ { n + 1 } = 2 n + 1$.当$n$为奇数时，$a _ { n + 1 } - a _ { n } = 2 n - 1 , a _ { n + 2 } +$ $a _ { n + 1 } = 2 n + 1$，所以$a _ { n + 2 } + a _ { n } = 2$；当$n$为偶数时，$a _ { n + 1 } + a _ { n } =$ $2 n - 1 , a _ { n + 2 } - a _ { n + 1 } = 2 n + 1$，所以$a _ { n + 2 } + a _ { n } = 4 n$.从而$S _ { 1 2 } =$ $( a _ { 1 } + a _ { 3 } ) + ( a _ { 5 } + a _ { 7 } ) + ( a _ { 9 } + a _ { 1 1 } ) + ( a _ { 2 } + a _ { 4 } ) + ( a _ { 6 } + a _ { 8 } ) +$ $( a _ { 1 0 } + a _ { 1 2 } ) = 2 × 3 + 4 × ( 2 + 6 + 1 0 ) = 7 8$.

4. (人 A 选必二 P40 复习巩固 3)计算：$1 + 2x + 3x^{2}+·s+nx^{n - 1}=$$\left\{ \begin{array} { l } \frac { ( 1 + n ) n } { 2 } , x = 1 , \\ \frac { n x ^ { n + 1 } - ( n + 1 ) x ^ { n } + 1 } { ( 1 - x ) ^ { 2 } } , x \neq 1 \end{array} \right.$。

答案： 4.$\left\{ \begin{array} { l } \frac { ( 1 + n ) n } { 2 } , x = 1 , \\ \frac { n x ^ { n + 1 } - ( n + 1 ) x ^ { n } + 1 } { ( 1 - x ) ^ { 2 } } , x \neq 1 \end{array} \right.$【解析】当$x = 1$时，$1 + 2 x +$ $3 x ^ { 2 } + ·s + n x ^ { n - 1 } = 1 + 2 + 3 + ·s + n = \frac { ( 1 + n ) n } { 2 }$.当$x \neq 1$时，记 $S _ { n } = 1 + 2 x + 3 x ^ { 2 } + ·s + n x ^ { n - 1 } \text { ① } , \text { ① } × x$得$x S _ { n } = x + 2 x ^ { 2 } +$ $3 x ^ { 3 } + ·s + n x ^ { n } \text { ② } , \text { ① } - \text { ② }$得$( 1 - x ) S _ { n } = 1 + x + x ^ { 2 } + ·s +$