《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例 1 - 1 (多选)设 $ A $, $ B $ 是一个随机试验中的两个事件,且 $ P(A)=\frac{1}{2} $, $ P(B)=\frac{2}{3} $, $ P(A+\overline{B})=\frac{3}{4} $,则 (ACD)
A.$ P(A\overline{B})=\frac{1}{12} $
B.$ P(\overline{A}\overline{B})=\frac{1}{3} $
C.$ P(\overline{B}|A)=\frac{1}{6} $
D.$ P(\overline{A}|B)=\frac{3}{8} $

答案： 例1-1 ACD 【解答】$P(A + B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-P(AB)=\frac{3}{4}$，$P(AB)=\frac{1}{12}$，故$A$正确.因为$P(B)=P(A\overline{B})+P(AB)$，所以$\frac{1}{3}=P(A\overline{B})+\frac{1}{12}$，$P(A\overline{B})=\frac{1}{4}$，故$B$错误.$P(\overline{B}|A)=\frac{P(A\overline{B})}{P(A)}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{6}$，故$C$正确.$P(B)=P(AB)+\frac{1}{2}-\frac{1}{12}$，所以$\frac{2}{3}=P(AB)+\frac{1}{2}-\frac{1}{12}$，所以$P(AB)=\frac{1}{4}$，$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{8}$，故$D$正确.

变式 1 (2025·萍乡二模)若随机事件 $ A $, $ B $ 满足 $ P(A)=0.6 $, $ P(B)=0.4 $, $ P(B|A)=0.5 $,则 $ P(B|\overline{A})= $______.

答案： 变式1 0.25 【解析】由$P(A)=0.6$，$P(B)=0.4$，$P(B|A)=0.5$，可得$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=0.5$，可得$P(AB)=0.5 × 0.6 = 0.3$，由$P(B)=P(AB)+P(\overline{A}B)=0.4$，可得$P(\overline{A}B)=0.1$，所以$P(\overline{B}|A)=\frac{P(\overline{A}B)}{P(A)}=\frac{0.1}{1 - P(A)}=\frac{0.1}{0.4}=0.25$.

例 1 - 2 某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.为了争取获得该零件的生产订单,甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下,该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件 $ A $ 为“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”,事件 $ B $ 为“该大型企业把零件交给甲工厂生产”,已知 $ 0＜P(B)＜1 $,证明: $ P(A|B)＞P(A|\overline{B})$得证.P(B|A)>P(B|A)P(AB)[1-P(A)]>[P(B)-P(AB)]P(A)

答案： 例1-2 【解答】因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，所以$P(B|A)＞P(B|\overline{A})$，即$\frac{P(AB)}{P(A)}＞\frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})}$.因为$P(A)＞0$，$P(\overline{A})＞0$，所以$P(AB)P(\overline{A})＞P(A\overline{B})P(A)$.因为$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$，$P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)$，所以$P(AB)[1 - P(A)]＞[P(B)-P(AB)]P(A)$，即得$P(AB)＞P(A)P(B)$，所以$P(AB)-P(AB)P(B)＞P(A)P(B)-P(AB)P(B)$，即$P(AB)[1 - P(B)]＞P(B)[P(A)-P(AB)]$.又因为$0 ＜ P(B)＜1$，$0 ＜ P(\overline{B})＜1$，所以$\frac{P(AB)}{P(B)}＞\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$，即$P(A|B)＞P(A|\overline{B})$得证.