《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. 已知向量 $ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b} $ 满足 $ \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,3),\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-2,1) $，则 $ |\boldsymbol{a}|^{2}-|\boldsymbol{b}|^{2}= $(B)

A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$

答案： 1.B【解析】因为向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$满足$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(2,3)$，$\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(-2,1)$，所以$\vert\boldsymbol{a}\vert^{2}-\vert\boldsymbol{b}\vert^{2}=(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})·(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=2×(-2)+3×1=-1$.

2. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ D,E $ 分别为 $ AB,BC $ 的中点，若 $ \overrightarrow{DF}=3\overrightarrow{EF} $，则 $ \overrightarrow{AF}= $(B)

A.$ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{5}{6}\overrightarrow{AC} $
B.$ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC} $
C.$ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} $
D.$ \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{2}\overrightarrow{AC} $

答案：
2.B【解析】如图，因为$D$，$E$分别为$AB$，$BC$的中点，$\overrightarrow{DF}=3\overrightarrow{EF}$，所以$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$，所以$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.
　　　

3. 在边长为 $ 1 $ 的正方形 $ ABCD $ 中，$ E,F $ 分别是 $ BC,CD $ 的中点，则 $ \overrightarrow{AE}·\overrightarrow{EF}= $(D)

A.$ \frac{3}{4} $
B.$ \frac{1}{4} $
C.$ -\frac{3}{4} $
D.$ -\frac{1}{4} $

答案：
3.D【解析】如图，在正方形$ABCD$中，$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AD}=0$，$\vert\overrightarrow{AB}\vert=\vert\overrightarrow{AD}\vert=1$，$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$，所以$\overrightarrow{AE}·\overrightarrow{EF}=(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD})·(\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}^{2}=-\frac{1}{4}$.
　　　

4. 如图，在边长为 $ 4 $ 的等边三角形 $ ABC $ 中，$ E $ 为中线 $ BD $ 上的动点，$ F $ 为 $ BC $ 的中点，则 $ \overrightarrow{FC}·\overrightarrow{FE} $ 的取值范围为[-4,2]。

答案：
4.$[-4,2]$【解析】由题意可建立如图所示的平面直角坐标系，则$F(0,0)$，$B(-2,0)$，$C(2,0)$，$A(0,2\sqrt{3})$，$D(1,\sqrt{3})$，则$\overrightarrow{FC}=(2,0)$，$\overrightarrow{BD}=(3,\sqrt{3})$.设$\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BD}$，其中$0\leqslant\lambda\leqslant1$，则可得$E(3\lambda - 2,\sqrt{3}\lambda)$，则$\overrightarrow{FE}=(3\lambda - 2,\sqrt{3}\lambda)$，故$\overrightarrow{FC}·\overrightarrow{FE}=(2,0)·(3\lambda - 2,\sqrt{3}\lambda)=6\lambda - 4\in[-4,2]$.
　　　　　　

例 1 (1)(2025·如东质检)如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ D,E $ 分别为 $ BC $ 和 $ BA $ 的三等分点，点 $ D $ 靠近点 $ B $，点 $ E $ 靠近点 $ A $，$ AD $ 交 $ CE $ 于点 $ P $。设 $ \overrightarrow{BC}=\boldsymbol{a},\overrightarrow{BA}=\boldsymbol{b} $，则 $ \overrightarrow{BP}= $(B)


A.$ -\frac{1}{7}\boldsymbol{a}+\frac{3}{7}\boldsymbol{b} $
B.$ \frac{1}{7}\boldsymbol{a}+\frac{4}{7}\boldsymbol{b} $
C.$ \frac{1}{7}\boldsymbol{a}+\frac{3}{7}\boldsymbol{b} $
D.$ \frac{2}{7}\boldsymbol{a}+\frac{4}{7}\boldsymbol{b} $

答案： 例1
(1)B【解析】设$\overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EP}=\mu\overrightarrow{EC}$，所以$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\lambda(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA})-\overrightarrow{AB}$，又$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{BP}=\frac{\lambda}{3}\overrightarrow{BC}+(1 - \lambda)\overrightarrow{BA}$.因为$\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$，所以$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{EC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\mu(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BE})=\frac{2}{3}(1 - \mu)\overrightarrow{BA}+\mu\overrightarrow{BC}$，所以$\begin{cases}\frac{\lambda}{3}=\mu,\frac{2}{3}-\frac{2}{3}\mu=1 - \lambda,\end{cases}$解得$\begin{cases}\lambda=\frac{3}{7},\\\mu=\frac{1}{7},\end{cases}$所以$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{7}\overrightarrow{BC}+\frac{4}{7}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{7}\boldsymbol{a}+\frac{4}{7}\boldsymbol{b}$.

(2)(2025·长沙调研)如图，在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB=AC=3,BC=4 $，$ P $ 是边 $ BC $ 上的动点，则 $ \overrightarrow{AP}·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) $(A)


A.为定值 $ 10 $
B.为定值 $ 6 $
C.为变量且有最大值 $ 10 $
D.为变量且有最小值 $ 6 $

答案：
(2)A【解析】设$\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC}(0\leqslant\lambda\leqslant1)$，因为$AB = AC = 3$，$BC = 4$，所以$\overrightarrow{AP}·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP})·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}+\lambda\overrightarrow{BC}·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$，又$\lambda\overrightarrow{BC}·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\lambda(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\lambda(\overrightarrow{AC}^{2}-\overrightarrow{AB}^{2})=\lambda(\vert\overrightarrow{AC}\vert^{2}-\vert\overrightarrow{AB}\vert^{2})=0$，$\cos\angle BAC=\frac{\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AC}^{2}-\overrightarrow{BC}^{2}}{2\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}=\frac{9 + 9 - 16}{2×3×3}=\frac{1}{9}$，所以$\overrightarrow{AP}·(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}^{2}+\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|^{2}+|\overrightarrow{AB}|·|\overrightarrow{AC}|·\cos\angle BAC=9 + 3×3×\frac{1}{9}=10$.