《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. 某人上楼梯，每步上1阶的概率为$\frac{3}{4}$，每步上2阶的概率为$\frac{1}{4}$，设此人从第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为(C)

A.$\frac{9}{16}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{13}{16}$
D.$\frac{5}{8}$

答案： 1.C【解析】到达第3阶台阶的方法有两种.第一种:每步上一个台阶,上两步,则概率为$\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$;第二种:只上一步且上两个台阶,则概率为$\frac{1}{4}$,所以到达第3阶台阶的概率为$\frac{9}{16}+\frac{1}{4}=$
$\frac{13}{16}$.

2. (2025·苏锡常镇二模)某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有10%的学生第二天会到楼下食堂用午餐；而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15%的学生第二天会到楼上食堂用午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生人数大约为(C)

A.700
B.800
C.900
D.1000

答案： 2.C【解析】设第$n$天楼上用餐人数为$a_n$,楼下用餐人数为$(1500-a_n)$,则$a_n=90\%a_{n-1}+15\%(1500-a_{n-1})(n\geq2)$,所以$a_n=75\%a_{n-1}+225,a_n-900=\frac{3}{4}(a_{n-1}-900)$,
若$a_1-900=0$,则$\{a_n-900\}$为常数列,所以$a_n=900$;若$a_1-900\neq0$,则$\{a_n-900\}$是以$\frac{3}{4}$为公比,$a_1-900$为首项的等比数列,$a_n-900=(a_1-900)×(\frac{3}{4})^{n-1}$,所以$a_n=900+(a_1-900)×(\frac{3}{4})^{n-1}\approx900$.

3. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立. 发送0时，收到0的概率为$\frac{3}{4}$，收到1的概率为$\frac{1}{4}$；发送1时，收到0的概率为$\frac{1}{4}$，收到1的概率为$\frac{3}{4}$. 若第一个人发送信号0和1(第一个是0，第二个是1)给第二个人，第二个人将接收到的信号发送给第三个人，依次类推，则第三个人收到的信号对应为0和1的概率为$\frac{25}{64}$.

答案： 3.$\frac{25}{64}$【解析】设第$i$个人收到0和0为事件$A_i$,收到0和1为事件$B_i$,收到1和0为事件$C_i$,收到1和1为事件$D_i$,则$P(A_2)=\frac{3}{4}×\frac{1}{4}=\frac{3}{16},P(B_2)=\frac{3}{4}×\frac{3}{4}=\frac{9}{16},P(C_2)=\frac{1}{4}×\frac{1}{4}=\frac{1}{16},P(D_2)=\frac{1}{4}×\frac{3}{4}=\frac{3}{16}$,故$P(B_3)=\frac{3}{4}×\frac{1}{4}P(A_2)+\frac{3}{4}×\frac{3}{4}P(B_2)+\frac{1}{4}×\frac{1}{4}P(C_2)+\frac{1}{4}×\frac{3}{4}P(D_2)=\frac{100}{256}=\frac{25}{64}$,即第三个人收到的信号为0和1的概率为$\frac{25}{64}$.

4. 小张、小王和小李正在玩纸牌游戏(去除大小王)，第一个拿到方块牌的人获胜. 他们轮流抽牌，小张先抽，之后是小王，接下来是小李，然后又是小张，依此类推，直到有人抽到方块牌为止. 当一个人抽取之后，如果他拿到的牌不是方块，则将其放回，并在下一个人抽取之前重新彻底洗牌.
(1)小张在第三轮抽牌时获胜的概率为$\frac{3^6}{4^7}$；
(2)小张最终获胜的概率为$\frac{16}{37}$(取极限值).

答案： 4.$\frac{3^6}{4^7}\frac{16}{37}$【解析】因为一副牌共有52张(去除大小王),其中13张是方块,所以无论谁抽牌,他抽方块牌的概率都是$\frac{13}{52}=\frac{1}{4}$.
由题意可得小张第一轮抽牌获胜的概率为$a_1=\frac{1}{4}$,第二轮抽牌小张获胜的概率为$a_2=(\frac{3}{4})^3×\frac{1}{4}$,第三轮抽牌小张获胜的概率为$a_3=(\frac{3}{4})^6×\frac{1}{4}$,依次类推,第$n$轮抽牌小张获胜的概率为$a_n=(\frac{3}{4})^{3(n-1)}×\frac{1}{4}$,故最终小张获胜的概率为$P=\frac{1}{4}+(\frac{3}{4})^3×\frac{1}{4}+(\frac{3}{4})^6×\frac{1}{4}+·s+(\frac{3}{4})^{3(n-1)}×\frac{1}{4}=\frac{1}{4}×\frac{1-(\frac{3}{4})^{3n}}{1-(\frac{3}{4})^3}=\frac{16}{37}-\frac{16}{37}×(\frac{3}{4})^{3n}$.