《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例1 已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，且$a_{n+1}=2S_{n}+2(n\in \mathbf{N}^{*})$.
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.
（2）在$a_{n}$与$a_{n+1}$之间插入$n$个数，使这$n + 2$个数组成一个公差为$d_{n}$的等差数列，在数列$\{ d_{n}\}$中是否存在$3$项$d_{m}$，$d_{k}$，$d_{p}$（其中$m$，$k$，$p$成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的$3$项；若不存在，请说明理由.$a_n = 2 × 3^{n - 1}$不存在

答案： （1）数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2 × 3^{n - 1}$。（2）在数列$\{d_n\}$中不存在$3$项$d_m$，$d_k$，$d_p$（其中$m$，$k$，$p$成等差数列）成等比数列。

变式1 设等差数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，已知$S_{3}=9$，$S_{6}=36$.
（1）求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.
（2）是否存在正整数$m$，$k$，使得$a_{m}$，$a_{m+5}$，$a_{k}$成等比数列？若存在，求出$m$和$k$的值；若不存在，请说明理由.$a_n = 2n - 1$存在$m = 1$，$k = 61$$m = 3$，$k = 23$$m = 13$，$k = 25$

答案： （1）等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n - 1$。（2）存在正整数$m$，$k$，使得$a_m$，$a_{m+5}$，$a_k$成等比数列，$m$和$k$的值分别是$m = 1$，$k = 61$或$m = 3$，$k = 23$或$m = 13$，$k = 25$。