《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

1. (多选)在一个不透明口袋中,装有5个红球和4个黑球(球除颜色外完全相同).现进行取球试验,方式一为有放回取3次球(每次1个),设取到红球的个数为$X$;方式二为无放回取3个球,设取到红球的个数为$Y$.关于两种分布,下列说法正确的有(ABC)

A.$X$服从二项分布,每次取到红球的概率为$\frac{5}{9}$
B.$Y$服从超几何分布,其概率质量函数为$P(Y = k)=\frac{\mathrm{C}_{5}^{k}\mathrm{C}_{4}^{3 - k}}{\mathrm{C}_{9}^{3}}$(其中$k = 0,1,2,3$)
C.超几何分布($Y$)与二项分布($X$)的均值相同
D.超几何分布($Y$)与二项分布($X$)的方差相同

答案： 1.ABC 【解析】有放回取球时，每次试验独立且取到红球的概率恒为$\frac{5}{5 + 4}=\frac{5}{9}$，3次取球构成3重伯努利试验，因此X服从二项分布$B(3,\frac{5}{9})$，A正确.无放回取3个球时，总体数量$N = 9$（红球$M = 5$，黑球4个），抽取数量$n = 3$，超几何分布的概率质量函数为“从$M$个红球中取$k$个，从剩余$(N - M)$个黑球中取$(n - k)$个的组合数，除以从总体中取$n$个球的组合数”，即$P(Y = k)=\frac{C_{5}^{k}C_{4}^{3 - k}}{C_{9}^{3}}(k = 0,1,2,3)$，B正确.二项分布的均值$E(X)=np = 3×\frac{5}{9}=\frac{5}{3}$；而$P(Y = 0)=\frac{C_{5}^{0}C_{4}^{3}}{C_{9}^{3}}=\frac{1}{21}$，$P(Y = 1)=\frac{C_{5}^{1}C_{4}^{2}}{C_{9}^{3}}=\frac{5}{14}$，$P(Y = 2)=\frac{C_{5}^{2}C_{4}^{1}}{C_{9}^{3}}=\frac{10}{21}$，$P(Y = 3)=\frac{C_{5}^{3}C_{4}^{0}}{C_{9}^{3}}=\frac{5}{42}$，$E(Y)=0×\frac{1}{21}+1×\frac{5}{14}+2×\frac{10}{21}+3×\frac{5}{42}=\frac{5}{3}$，二者均值相同，C正确.二项分布的方差$D(X)=np(1 - p)=3×\frac{5}{9}×\frac{4}{9}=\frac{20}{27}$；而$D(Y)=(0 - \frac{5}{3})^{2}×\frac{1}{21}+(1 - \frac{5}{3})^{2}×\frac{5}{14}+(2 - \frac{5}{3})^{2}×\frac{10}{21}+(3 - \frac{5}{3})^{2}×\frac{5}{42}=\frac{5}{9}$，二者计算结果不同，D错误.

2. (多选)10名同学中有$a$名女生,若从中抽取2个人作为学生代表,恰好抽到1名女生的概率为$\frac{16}{45}$,则$a$ =(BD)

A.1
B.2
C.4
D.8

答案： 2.BD【解析】由题意知，$\frac{16}{45}=\frac{C_{10 - a}^{0}C_{a}^{a}}{C_{10}^{2}}$，整理得$a^{2}-10a + 16 = 0$，解得$a = 2$或$8$.

3. (苏教选必二P133练习6改编)生态学家为估计某地区动物总数,先捕捉$m = 40$只动物做标记后放回,一段时间后再捕捉$n = 80$只,发现其中有标记的动物$p = 8$只,利用上述试验方法估计该地区动物总数为400只.

答案： 3.400【解析】方法一：设该地区动物总数为$N$，把第二次捕捉看作抽样，其中有标记动物数$X$服从超几何分布$H(n,m,N)$（$n = 80$是第二次捕捉数，$m = 40$是标记数，$N$是总数）.又超几何分布的期望$E(X)=\frac{nM}{N}$（这里$M = m$），即$E(X)=\frac{nm}{N}$.由于实际捕捉中，有标记动物数为$p = 8$，期望可通过试验结果估计，即$\frac{nm}{N}=p$.将$m = 40$，$n = 80$，$p = 8$代入$N=\frac{nm}{p}$，可得$N=\frac{40×80}{8}=400$（只）.
方法二：设该地区动物总数为$N$，则由$\frac{8}{80}=\frac{40}{N}$，解得$N = 400$.

4. 如果$X\sim B(20,\frac{1}{2})$,那么$P(X = k)$取得最大值时,$k$ =10.

答案： 4.10【解析】因为$X\sim B(20,\frac{1}{2})$，所以$P(X = k)=C_{20}^{k}(\frac{1}{2})^{k}·(1 - \frac{1}{2})^{20 - k}=C_{20}^{k}·(\frac{1}{2})^{20}$，由组合数的性质可知，当$k = 10$时，$C_{20}^{k}$最大，此时$P(X = k)$取得最大值.