《2026年南方凤凰台5A新考案数学二轮提高版》

例 2 - 2 某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入。该公司近$5$年的年广告费$x_{i}$（单位：百万元）和年销售量$y_{i}$（单位：百万辆）的关系如图所示：

令$v_{i}=\ln x_{i}(i = 1,2,·s,5)$，数据经过初步处理得：

现有①$y = bx + a$和②$y = n\ln x + m$两种方案作为年销售量$y$关于年广告费$x$的回归分析模型，其中$a$，$b$，$m$，$n$均为常数。
参考数据：$\sqrt{40.3×1.612}=8.06$，$\sqrt{403}\approx20.1$，$\ln 5\approx1.6$，$\ln 6\approx1.8$。
（1）请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？模型②的拟合程度更好
（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出$y$关于$x$的经验回归方程，并预测年广告费为$6$百万元时，产品的年销售量是多少？经验回归方程为$\hat{y}=5\ln x + 4$，年销售量大概是13百万辆
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆$200$元（不含广告费、研发经费）。该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的$199$倍。电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量$\xi$影响，设随机变量$\xi$服从正态分布$N(600,\sigma^{2})$，且满足$P(\xi＞800)=0.3$。在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于$1000$百万元的概率。（年净利润$=$毛利润$×$年销售量$-$年广告费$-$年研发经费$-$随机变量）0.3

答案： 例2-2 【解答】
(1)设模型①和②的样本相关系数分别为$r_{1}$，$r_{2}$.由题意可得$r_{1} = \frac{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i} - \overline{x})(y_{i} - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(x_{i} - \overline{x})^{2}}\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(y_{i} - \overline{y})^{2}}} = \frac{19.5}{\sqrt{403}} \approx \frac{19.5}{20.1} \approx 0.97$，$r_{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{5}(v_{i} - \overline{v})(y_{i} - \overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(y_{i} - \overline{y})^{2}}\sqrt{\sum_{i = 1}^{5}(v_{i} - \overline{v})^{2}}} = \frac{8.06}{\sqrt{40.3 × 1.612}} = \frac{8.06}{8.06} = 1$，所以$\vert r_{1}\vert ＜ \vert r_{2}\vert$，由样本相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.
(2)因为$\hat{n} = \frac{\sum_{i = 1}^{5}v_{i}}{\sum_{i = 1}^{5}(v_{i} - \overline{v})^{2}} = 5$，又由$\overline{v} = \frac{1}{5}\sum_{i = 1}^{5}v_{i} = 0.96$，$\overline{y} = \frac{1}{5}\sum_{i = 1}^{5}y_{i} = 8.8$，得$\hat{m} = \overline{y} - 5\overline{v} = 8.8 - 5 ×0.96 = 4$，所以$y = 5v + 4$，即经验回归方程为$\hat{y} = 5\ln x + 4$.当$x = 6$时，$\hat{y} = 5\ln 6 + 4 \approx 13$，因此当年广告费为$6$百万元时，产品的年销售量大概是$13$百万辆.
(3)年净利润为$200 × (5\ln x + 4) - 200x - \xi(x ＞ 0)$，令$g(x) = 200 × (5\ln x + 4) - 200x - \xi$，所以$g^{\prime}(x) = \frac{1000}{x} - 200$，令$g^{\prime}(x) = 0$，得$x = 5$，可得$y = g(x)$在$(0,5)$上为增函数，在$(5, + \infty)$上为减函数，所以$g(x)_{\max} = g(5) = 200 × (5\ln 5 + 4 - 5) - \xi \approx 1400 - \xi$，由题意得$1400 - \xi ＞ 1000$，即$\xi ＜ 400$，$P(\xi ＜ 400) = P(\xi ＞ 800) = 0.3$，即该公司年净利润的最大值大于$1000$百万元的概率为$0.3$.